Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 500115

Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство

\left| дробь: числитель: x в степени 2 плюс ax плюс 1, знаменатель: x в степени 2 плюс x плюс 1 конец дроби | меньше 3

выполняется при всех x.

Спрятать решение

Решение.

Поскольку x в степени 2 плюс x плюс 1 больше 0 для всех значений x, получаем:

\left| x в степени 2 плюс ax плюс 1 | меньше 3x в степени 2 плюс 3x плюс 3.

 

Решим полученное неравенство:

 система выражений  новая строка x в степени 2 плюс ax плюс 1 меньше 3x в степени 2 плюс 3x плюс 3,  новая строка x в степени 2 плюс ax плюс 1 больше минус 3x в степени 2 минус 3x минус 3 конец системы . равносильно система выражений  новая строка 2x в степени 2 плюс (3 минус a)x плюс 2 больше 0,  новая строка 4x в степени 2 плюс (3 плюс a)x плюс 4 больше 0. конец системы .

 

Для того, чтобы любое значение x удовлетворяло этой системе неравенств, нужно, чтобы каждое из неравенств системы было верным для любого значения x, то есть дискриминанты левых частей этих неравенств должны быть отрицательными:

\left\ \begin{matrix (3 минус a) в степени 2 минус 16 меньше 0, (3 плюс a) в степени 2 минус 64 меньше 0 \endmatrix . равносильно \left\ \begin{matrix |a минус 3| меньше 4, |3 плюс a| меньше 8 \endmatrix . равносильно \left\ \begin{matrix минус 1 меньше a меньше 7, минус 11 меньше a меньше 5 \endmatrix . равносильно минус 1 меньше a меньше 5.

 

Ответ:  минус 1 меньше a меньше 5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ4
С помощью верного рассуждения получены искомые значения, отличающиеся от верных только конечным числом значений3
С помощью верного рассуждения получены все «граничные» значения параметра2
Верно получено хотя бы одно «граничное» значение параметра1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 500115: 511336 Все

Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Гость 30.05.2015 14:41

при первом переходе от неравенства к системе неравенств, должна быть совокупность "либо одно, либо другое", a не "и одно, и другое"

Александр Иванов

|a| меньше b равносильно система выражений a меньше b,a больше минус b. конец системы .

 

|a| больше b равносильно совокупность выражений a больше b,a меньше минус b. конец совокупности .