ЕГЭ–2022, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание 17 № 500115 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство

$\left| дробь: числитель: x в степени 2 плюс ax плюс 1, знаменатель: x в степени 2 плюс x плюс 1 конец дроби | меньше 3$

выполняется при всех $x.$

Спрятать решение

Решение.

Поскольку $x в степени 2 плюс x плюс 1 больше 0$ для всех значений x, получаем:

$\left| x в степени 2 плюс ax плюс 1 | меньше 3x в степени 2 плюс 3x плюс 3.$

Решим полученное неравенство:

$система выражений новая строка x в степени 2 плюс ax плюс 1 меньше 3x в степени 2 плюс 3x плюс 3, новая строка x в степени 2 плюс ax плюс 1 больше минус 3x в степени 2 минус 3x минус 3 конец системы . равносильно система выражений новая строка 2x в степени 2 плюс (3 минус a)x плюс 2 больше 0, новая строка 4x в степени 2 плюс (3 плюс a)x плюс 4 больше 0. конец системы .$

Для того, чтобы любое значение x удовлетворяло этой системе неравенств, нужно, чтобы каждое из неравенств системы было верным для любого значения x, то есть дискриминанты левых частей этих неравенств должны быть отрицательными:

$\left\ \begin{matrix (3 минус a) в степени 2 минус 16 меньше 0, (3 плюс a) в степени 2 минус 64 меньше 0 \endmatrix . равносильно \left\ \begin{matrix |a минус 3| меньше 4, |3 плюс a| меньше 8 \endmatrix . равносильно \left\ \begin{matrix минус 1 меньше a меньше 7, минус 11 меньше a меньше 5 \endmatrix . равносильно минус 1 меньше a меньше 5.$

Ответ: $минус 1 меньше a меньше 5.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены искомые значения, отличающиеся от верных только конечным числом значений	3
С помощью верного рассуждения получены все «граничные» значения параметра	2
Верно получено хотя бы одно «граничное» значение параметра	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 500115: 511336 Все

Классификатор алгебры: Неравенства с модулями, Рациональные неравенства

Методы алгебры: Перебор случаев, Перебор случаев

Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·

Сообщить об ошибке · Помощь

Гость 30.05.2015 14:41

при первом переходе от неравенства к системе неравенств, должна быть совокупность "либо одно, либо другое", a не "и одно, и другое"

Александр Иванов

$|a| меньше b равносильно система выражений a меньше b,a больше минус b. конец системы .$

$|a| больше b равносильно совокупность выражений a больше b,a меньше минус b. конец совокупности .$