Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 511336

Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство

\left| дробь: числитель: x в степени 2 минус 2ax плюс x плюс 1, знаменатель: x в степени 2 плюс x плюс 1 конец дроби | меньше 3

выполняется при всех x.

Спрятать решение

Решение.

Поскольку x в степени 2 плюс x плюс 1 больше 0 для всех значений x, получаем:

\left| x в степени 2 минус 2ax плюс x плюс 1 | меньше 3x в степени 2 плюс 3x плюс 3.

 

Решим полученное неравенство:

 система выражений  новая строка x в степени 2 минус 2ax плюс x плюс 1 меньше 3x в степени 2 плюс 3x плюс 3,  новая строка x в степени 2 минус 2ax плюс x плюс 1 больше минус 3x в степени 2 минус 3x минус 3 конец системы . равносильно система выражений  новая строка 2x в степени 2 плюс (2 плюс 2a)x плюс 2 больше 0,  новая строка 4x в степени 2 плюс (4 минус 2a)x плюс 4 больше 0. конец системы .

 

Для того, чтобы любое значение x удовлетворяло этой системе неравенств, нужно, чтобы каждое из неравенств системы было верным для любого значения x, то есть дискриминанты левых частей этих неравенств должны быть отрицательными:

\left\ \begin{matrix (2 плюс 2a) в степени 2 минус 16 меньше 0, (4 минус 2a) в степени 2 минус 64 меньше 0 \endmatrix . равносильно \left\ \begin{matrix |2a плюс 2| меньше 4, |4 минус 2a| меньше 8 \endmatrix . равносильно \left\ \begin{matrix минус 3 меньше a меньше 1, минус 2 меньше a меньше 6 \endmatrix . равносильно минус 2 меньше a меньше 1.

 

Ответ:  минус 2 меньше a меньше 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ4
С помощью верного рассуждения получены искомые значения, отличающиеся от верных только конечным числом значений3
С помощью верного рассуждения получены все «граничные» значения параметра2
Верно получено хотя бы одно «граничное» значение параметра1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 500115: 511336 Все