ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 500115 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с модулями, Рациональные неравенства

Методы алгебры: Перебор случаев, Перебор случаев

Задача с параметром. Уравнения с параметром, содержащие модуль

Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство

$\left| дробь: числитель: x в квадрате плюс ax плюс 1, знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби | меньше 3$

выполняется при всех $x.$

Решение.

Поскольку $x в квадрате плюс x плюс 1 больше 0$ для всех значений x, получаем:

$\left| x в квадрате плюс ax плюс 1 | меньше 3x в квадрате плюс 3x плюс 3.$

Решим полученное неравенство:

$система выражений новая строка x в квадрате плюс ax плюс 1 меньше 3x в квадрате плюс 3x плюс 3, новая строка x в квадрате плюс ax плюс 1 больше минус 3x в квадрате минус 3x минус 3 конец системы . равносильно система выражений новая строка 2x в квадрате плюс левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка x плюс 2 больше 0, новая строка 4x в квадрате плюс левая круглая скобка 3 плюс a правая круглая скобка x плюс 4 больше 0. конец системы .$

Для того чтобы любое значение x удовлетворяло этой системе неравенств, нужно, чтобы каждое из неравенств системы было верным для любого значения x, то есть дискриминанты левых частей этих неравенств должны быть отрицательными:

$левая фигурная скобка \beginmatrix левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка в квадрате минус 16 меньше 0, левая круглая скобка 3 плюс a правая круглая скобка в квадрате минус 64 меньше 0 \endmatrix . равносильно левая фигурная скобка \beginmatrix |a минус 3| меньше 4, |3 плюс a| меньше 8 \endmatrix . равносильно левая фигурная скобка \beginmatrix минус 1 меньше a меньше 7, минус 11 меньше a меньше 5 \endmatrix . равносильно минус 1 меньше a меньше 5.$

Ответ: $минус 1 меньше a меньше 5.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены искомые значения, отличающиеся от верных только конечным числом значений	3
С помощью верного рассуждения получены все «граничные» значения параметра	2
Верно получено хотя бы одно «граничное» значение параметра	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: $минус 1 меньше a меньше 5.$

Аналоги к заданию № 500115: 511336 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · 1 комментарий · Помощь

Тип 18 № 511336 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с модулями, Рациональные неравенства

Методы алгебры: Перебор случаев, Перебор случаев

Задача с параметром. Уравнения с параметром, содержащие модуль

Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство

$\left| дробь: числитель: x в квадрате минус 2ax плюс x плюс 1, знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби | меньше 3$

выполняется при всех $x.$

Решение.

Поскольку $x в квадрате плюс x плюс 1 больше 0$ для всех значений x, получаем:

$\left| x в квадрате минус 2ax плюс x плюс 1 | меньше 3x в квадрате плюс 3x плюс 3.$

Решим полученное неравенство:

$система выражений новая строка x в квадрате минус 2ax плюс x плюс 1 меньше 3x в квадрате плюс 3x плюс 3, новая строка x в квадрате минус 2ax плюс x плюс 1 больше минус 3x в квадрате минус 3x минус 3 конец системы . равносильно система выражений новая строка 2x в квадрате плюс левая круглая скобка 2 плюс 2a правая круглая скобка x плюс 2 больше 0, новая строка 4x в квадрате плюс левая круглая скобка 4 минус 2a правая круглая скобка x плюс 4 больше 0. конец системы .$

Для того, чтобы любое значение x удовлетворяло этой системе неравенств, нужно, чтобы каждое из неравенств системы было верным для любого значения x, то есть дискриминанты левых частей этих неравенств должны быть отрицательными:

$левая фигурная скобка \beginmatrix левая круглая скобка 2 плюс 2a правая круглая скобка в квадрате минус 16 меньше 0, левая круглая скобка 4 минус 2a правая круглая скобка в квадрате минус 64 меньше 0 \endmatrix . равносильно левая фигурная скобка \beginmatrix |2a плюс 2| меньше 4, |4 минус 2a| меньше 8 \endmatrix . равносильно левая фигурная скобка \beginmatrix минус 3 меньше a меньше 1, минус 2 меньше a меньше 6 \endmatrix . равносильно минус 2 меньше a меньше 1.$ $левая фигурная скобка \beginmatrix левая круглая скобка 2 плюс 2a правая круглая скобка в квадрате минус 16 меньше 0, левая круглая скобка 4 минус 2a правая круглая скобка в квадрате минус 64 меньше 0 \endmatrix . равносильно левая фигурная скобка \beginmatrix |2a плюс 2| меньше 4, |4 минус 2a| меньше 8 \endmatrix . равносильно$
$равносильно левая фигурная скобка \beginmatrix минус 3 меньше a меньше 1, минус 2 меньше a меньше 6 \endmatrix . равносильно минус 2 меньше a меньше 1.$

Ответ: $минус 2 меньше a меньше 1.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены искомые значения, отличающиеся от верных только конечным числом значений	3
С помощью верного рассуждения получены все «граничные» значения параметра	2
Верно получено хотя бы одно «граничное» значение параметра	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: $минус 2 меньше a меньше 1.$

Аналоги к заданию № 500115: 511336 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе