СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 500216

Найдите все значения при каждом из которых уравнение имеет более двух корней.

Решение.

Определим, что при a < 0 уравнение не имеет решений, так как левая часть не меньше нуля, а правая меньше нуля. Определим, для каких a ≥ 0 графики функции и имеют более двух общих точек на области

Заметим, что при всех a ≥ 1 уравнение имеет хотя бы один корень, не превосходящий нуль. При уравнение имеет два решения. При где m — значение a, которому соответствует точка касания графика функции и графика функции Найдём m:

 

 

Таким образом, при уравнение имеет два решения, а при больших a — только одно решение. Значит, — единственный промежуток, на котором уравнение имеет больше двух решений (то есть три).

 

Ответ:

 

 

Приведём ещё одно решение:

 

Рассмотрим функции и Исследуем уравнение

На промежутке функция возрастает. Функция убывает на этом промежутке, поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, то есть при

При уравнение принимает вид При левая часть этого уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При это уравнение сводится к квадратному уравнению дискриминант которого поэтому при это уравнение не имеет корней, при — уравнение имеет единственный корень, равный при — уравнение имеет два корня.

Пусть уравнение имеет два корня, и

Тогда меньший корень а больший корень не превосходит если то есть при

По теореме Виета поэтому знаки корней и зависят от знаков выражений и Значит, при оба корня отрицательны, при один из корней отрицательный, а другой неотрицательный, при оба корня неотрицательны.

Таким образом, при уравнение не имеет корней при и имеет один корень при и имеет два корня при

Таким образом, уравнение имеет следующее количество корней:

— нет корней при

— один корень при и

— два корня при и

— три корня при

Ответ:


Аналоги к заданию № 500216: 500390 507480 Все

Источник: ЕГЭ 10.07.2012 по математике. Вторая волна. Вариант 501.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Левая и правая части в качестве отдельных графиков, Левая и правая части в качестве отдельных графиков