Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 
имеет более двух корней.
Запишем уравнение в виде 
рассмотрим функцию 
Раскрывая модуль, получаем:
При 
функция 
убывает, принимая все значения из промежутка 
Чтобы изучить поведение функции при положительных значениях переменной, найдем производную:
Производная обращается в нуль в точке 
меняя знак с плюса на минус. Следовательно, эта точка является точкой максимума, причем 
Построим эскиз графика функции (см. рис.). Из графика заключаем, что уравнение имеет три корня при 
Ответ: 
Приведём другое решение.
Определим, для каких значений a графики функции 
и 
имеют более двух общих точек на луче 
При a < 1 уравнение не имеет решений. При a = 1 уравнение имеет единственный корень x = 0. При 
уравнение имеет два решения. Пусть m — значение a, которому соответствует точка касания графика функции 
и графика функции 
Тогда при 
уравнение имеет три решения, при 
уравнение имеет два решения, при 
уравнение имеет единственное решение. Найдем m из условия касания:
Получаем:
Таким образом, уравнение имеет больше двух решений при 
Ответ: 
Приведём ещё одно решение.
Рассмотрим функции 
и 
Исследуем уравнение 
На промежутке 
функция 
возрастает. Функция 
убывает на этом промежутке, поэтому уравнение 
имеет не более одного решения на промежутке 
причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, 
то есть при 
При 
уравнение принимает вид 
При 
левая часть этого уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При 
это уравнение сводится к квадратному уравнению 
дискриминант которого 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней, при 
— уравнение имеет единственный корень, равный 
при 
— уравнение имеет два корня.
Пусть уравнение имеет два корня:
и 
Меньший корень 
а больший корень 
не превосходит 
если 
то есть при 
По теореме Виета 
поэтому знаки корней 
и 
зависят от знаков выражений 
и 
Значит, при 
оба корня отрицательны, при 
один из корней отрицательный, а другой неотрицательный, при 
оба корня неотрицательны. Следовательно, при уравнение 
не имеет корней при 
и 
имеет один корень при 
и 
имеет два корня при
Таким образом, заключаем, что уравнение 
— не имеет корней при 
— имеет один корень при 
и 
— имеет два корня при 
и 
— имеет три корня при
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а | 2 |
| Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найти все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет более двух корней.
Рассмотрим функции 
и Исследуем уравнение
На промежутке функция возрастает. Функция убывает на этом промежутке, поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, то есть при
При уравнение принимает вид 
При 
левая часть этого уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При 
это уравнение сводится к квадратному уравнению 
дискриминант которого 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней, при 
— уравнение имеет единственный корень, равный 
при 
— уравнение имеет два корня.
Пусть уравнение имеет два корня, 
и 
Тогда меньший корень 
а больший корень 
не превосходит 
если то есть при 
По теореме Виета 
поэтому знаки корней и зависят от знаков выражений 
и 
Значит, при оба корня отрицательны, при один из корней отрицательный, а другой неотрицательный, при оба корня неотрицательны.
Таким образом, при уравнение не имеет корней при и 
имеет один корень при 
и 
имеет два корня при 
Таким образом, уравнение имеет следующее количество корней:
— нет корней при
— один корень при и 
— два корня при 
и 
— три корня при
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а | 2 |
| Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 
имеет более двух корней.
Рассмотрим функции 
и Исследуем уравнение
На промежутке 
функция возрастает. Функция убывает на этом промежутке, поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке 
причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, то есть при
При уравнение принимает вид 
При 
левая часть этого уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При 
это уравнение сводится к квадратному уравнению 
дискриминант которого 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней; при уравнение имеет единственный корень 
при 
уравнение имеет два корня.
Пусть уравнение имеет два корня,
и 
Тогда меньший корень 
всегда меньше 
а больший корень не превосходит если то есть при 
По теореме Виета:
поэтому знаки корней и зависят от знаков выражений 
и 
Значит, при оба корня отрицательны, при один из корней отрицательный, а другой неотрицательный, при оба корня неотрицательны.
Таким образом, при уравнение 
не имеет корней при и 
имеет один корень при 
и 
имеет два корня при 
Таким образом, уравнение имеет следующее количество корней:
— нет корней при 
— один корень при и
— два корня при 
и
— три корня при
Ответ:
| Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 
имеет более двух корней.
Запишем уравнение в виде 
рассмотрим функцию 
Раскрывая модуль, получаем:
При 
функция 
убывает, принимая все значения из промежутка 
Чтобы изучить поведение функции при положительных значениях переменной, найдем производную:
Производная обращается в нуль в точке 
меняя знак с плюса на минус. Следовательно, эта точка является точкой максимума, причем 
Построим эскиз графика функции (см. рис.). Из графика заключаем, что уравнение имеет три корня при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх