ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 500970 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых на отрезке $левая квадратная скобка 0,1 правая квадратная скобка$ существует хотя бы одно число x, удовлетворяющее неравенству $a плюс |a плюс 1 минус x|\leqslant3x минус x в квадрате минус 1.$

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем неравенство:

$a плюс |a плюс 1 минус x|\leqslant3x минус x в квадрате минус 1 равносильно |x минус левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка | меньше или равно 3x минус x в квадрате минус a минус 1 равносильно$

$равносильно левая фигурная скобка \beginaligned новая строка x минус a минус 1 меньше или равно 3x минус x в квадрате минус a минус 1, новая строка x минус a минус 1 больше или равно минус 3x плюс x в квадрате плюс a плюс 1 \endaligned равносильно левая фигурная скобка \beginaligned новая строка x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0, новая строка a меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 2x минус 1. \endaligned$

Неравенство $x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0$ определяет на плоскости Oxa полосу, заключенную между прямыми $x=0$ и $x=2.$ Неравенство $a\leqslant минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 2x минус 1$ задаёт часть плоскости, ограниченную сверху параболой. Заметим, также, что последнее неравенство влечет также выполнение условия $3x минус x в квадрате минус a минус 1 больше или равно 0,$ необходимого при снятии модуля, поскольку, при $x принадлежит левая квадратная скобка 0;2 правая квадратная скобка ,$ парабола $a= минус x в квадрате плюс 3x минус 1$ лежит не ниже параболы $a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 2x минус 1.$

На рисунке видно, что на интервале $левая квадратная скобка 0;1 правая квадратная скобка$ есть x, удовлетворяющие неравенству, только если $a\leqslant0,5.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность , 0,5 правая квадратная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
Верно составлена система условий. Решение выполнено верно, но из ответа исключена правая граница промежутка	3
Верно составлена система условий, но при решении допущена ошибка, из=за которой ответ включает лишний промежуток	2
Верно составлена система условий, но её решение в корне ошибочно	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 500965: 500970 511350 Все

Классификатор алгебры: Координаты (x, a)

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Скрыть комментарии · Видеокурс · Помощь

Ирина Иванова 04.07.2016 15:32

Почему а<=0,5? А не от -1 до 0,5

Константин Лавров

Поскольку решением неравенства при различных $a$ являются точки из заштрихованной области лежащие между 0 и 1. А такие точки есть и при $a меньше минус 1,$ а точнее, как и написано в ответе, при всех $a\le0,5.$