Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д11 C3 № 501516
i

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств си­сте­ма вы­ра­же­ний 2 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 27 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 87, \log _3x дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 27x плюс 9 боль­ше или равно 0. конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Сде­ла­ем за­ме­ну y=3 в сте­пе­ни x .

18y плюс дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: y конец дроби мень­ше или равно 87 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 18y в квад­ра­те минус 87y плюс 27, зна­ме­на­тель: y конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 3 левая круг­лая скоб­ка 2y минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3y минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: y конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка y мень­ше 0, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно y мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Учи­ты­вая, что 3 в сте­пе­ни x боль­ше 0, по­лу­ча­ем: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно 3 в сте­пе­ни x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , от­ку­да на­хо­дим ре­ше­ние пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы: минус 1 мень­ше или равно x мень­ше или равно 2 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 2.

 

2.  Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 27x, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка 3x конец дроби плюс 9 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x плюс 3, зна­ме­на­тель: минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби плюс 9 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но 9 минус дробь: чис­ли­тель: 3 левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x плюс 1 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x плюс 3, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x плюс 1 конец дроби мень­ше или равно 3.

Сде­ла­ем за­ме­ну z= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x:

дробь: чис­ли­тель: z плюс 3, зна­ме­на­тель: z плюс 1 конец дроби мень­ше или равно 3 рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 2z, зна­ме­на­тель: z плюс 1 конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка z мень­ше минус 1, новая стро­ка z боль­ше или равно 0. конец со­во­куп­но­сти .

Тогда ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x мень­ше минус 1 или ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x боль­ше или равно 0, от­ку­да 0 мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби или x боль­ше или равно 1.

3.  Учтём, что 1 мень­ше 2 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 2. Пе­ре­се­кая по­лу­чен­ные ре­ше­ния найдём мно­же­ство ре­ше­ний ис­ход­ной си­сте­мы не­ра­венств: левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1;2 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1;2 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах си­сте­мы2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном из не­ра­венств си­сте­мы

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 500065: 500348 501516 Все

Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но по­ка­за­тель­ной функ­ции, Не­ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му ос­но­ва­нию, Си­сте­мы не­ра­венств
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Скрыть комментарии · Помощь
Роман Кроп 11.04.2014 18:30

В ре­ше­нии 1-го не­ра­вен­ства после за­ме­ны y=3^x ука­за­но, что у<0. Долж­но быть на­о­бо­рот: у>0.

Александр Иванов

Та­ко­го в ре­ше­нии нет.



О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026