Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 501693

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

ax плюс корень из 3 минус 2x минус x в степени 2 = 4a плюс 2

имеет единственный корень.
Спрятать решение

Решение.

Запишем уравнение в виде  корень из 3 минус 2x минус x в степени 2 = минус ax плюс 4a плюс 2 Рассмотрим две функции: f(x) = корень из 3 минус 2x минус x в степени 2 и g(x) = минус ax плюс 4a плюс 2= минус a(x минус 4) плюс 2. Графиком функции f(x) = корень из 3 минус 2x минус x в степени 2 является полуокружность радиуса 2 с центром в точке ( минус 1,0), лежащая в верхней полуплоскости. При каждом значении a графиком функции g(x) является прямая с угловым коэффициентом  минус a, проходящая через точку M(4, 2).

Уравнение имеет единственный корень, если графики функций f(x) и g(x) имеют единственную общую точку: либо прямая касается полуокружности, либо пересекает её в единственной точке.

Касательная MC, проведённая из точки M к полуокружности, имеет угловой коэффициент, равный нулю, то есть при a = 0 исходное уравнение имеет единственный корень. При  минус a меньше 0 прямая не имеет общих точек с полуокружностью.

Прямая MA, заданная уравнением y = минус ax плюс 4a плюс 2, проходит через точки M(4,2) и A( минус 3,0), следовательно, её угловой коэффициент  минус a= дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби . При 0 меньше минус a \leqslant дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби прямая, заданная уравнением y = минус ax плюс 4a плюс 2, имеет угловой коэффициент не больше, чем у прямой MA, и пересекает полуокружность в двух точках. При  дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби меньше минус a \leqslant дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби прямая, заданная уравнением y = минус ax плюс 4a плюс 2, имеет угловой коэффициент больше, чем у прямой MA, и не больше, чем у прямой MB, и пересекает полуокружность в единственной точке. Получаем, что при  минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби \leqslant a меньше минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби исходное уравнение имеет единственный корень. При  минус a больше дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби прямая не имеет общих точек с полуокружностью.

 

Ответ:  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка \cup\0\.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ4
Обоснованно получены все значения: a = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , a = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби , a = 0. Ответ

отличается от верного только исключением точки a = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби и/или включением точки a = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби

3
Обоснованно получены все значения: a = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , a = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби , a = 02
Верно найдено одно или два из значений a = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , a = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби или a = 01
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных вышe0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 501693: 501733 501988 511366 Все

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Центр. Вариант 1.