Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 501733

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

8a плюс корень из 7 плюс 6x минус x в степени 2 = ax плюс 4

имеет единственный корень.

Спрятать решение

Решение.

Запишем уравнение в виде  корень из 7 плюс 6x минус x в степени 2 = ax плюс 4 минус 8a Рассмотрим две функции: f(x)= корень из 7 плюс 6x минус x в степени 2 и g(x)= ax минус 8a плюс 4. Графиком функции f(x)= корень из 4 в степени 2 минус (x минус 3) в степени 2 является полуокружность радиуса 4 с центром в точке (3;0). лежащая в верхней полуплоскости (см. рис.). При каждом значении a графиком функции g(x) является прямая с угловым коэффициентом a, проходящая через точку M(8; 4).

 

Уравнение имеет единственный корень, если графики функций f(x) и g(x) имеют единственную общую точку: либо прямая касается полуокружности, либо пересекает её в единственной точке.

 

Касательная MC, проведённая из точки M к полуокружности, имеет угловой коэффициент, равный нулю, то есть при a=0 исходное уравнение имеет единственный корень. При a меньше 0 прямая не имеет общих точек с полуокружностью.

 

Прямая MA, заданная уравнением y=ax минус 8a плюс 4, проходит через точки M(8; 4) и A( минус 1; 0), следовательно, её угловой коэффициент a= дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби . При 0 меньше a \leqslant дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби прямая, заданная уравнением y=ax минус 8a плюс 4, имеет две общие точки с полуокружностью. Прямая MB, заданная уравнением y=ax минус 8a плюс 4, проходит через точки M(8; 4) и B(7; 0), следовательно, её угловой коэффициент a = 4. При  дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби меньше a \leqslant 4 прямая, заданная уравнением y=ax минус 8a плюс 4, имеет угловой коэффициент больше, чем у прямой MA, и не больше, чем у прямой MB, и пересекает полуокружность в единственной точке. Получаем, что при  дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби меньше a \leqslant 4 исходное уравнение имеет единственный корень. При a больше 4 прямая не имеет общих точек с полуокружностью.

 

Ответ: 0; левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби ; 4 правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ4
Обоснованно получены все значения: а = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , а = дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби , а = 0. Ответ

отличается от верного только исключением точки а = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби и/или включением точки а = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби

3
Обоснованно получены все значения: а = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , а = дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби , а = 02
Верно найдено одно или два из значений а = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , а = дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби или а = 01
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных вышe0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 501693: 501733 501988 511366 Все

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Урал. Вариант 203., Задания 18 (С6) ЕГЭ 2013
Методы алгебры: Перебор случаев