Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 501989

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.

Спрятать решение

Решение.

а) Задуманные числа 2, 2, 2, 2 дают требуемый набор, записанный на доске. Другой вариант: 2, 2, 4.

 

б) Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 22 – 1 = 21. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.

 

в) Число 9 — наименьшее число в наборе — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит

целой части частного 52 и 9, то есть 5. Кроме того, числа 10 и 11 меньше, чем сумма двух чисел 9, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 52 − 9 − 10 − 11 = 22. Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 9, оставшиеся задуманные числа — это 11 и 11 или 22. Для задуманных чисел 9, 10, 11, 11, 11 и 9, 10, 11, 22 на доске будет записан набор, данный в условии.

 

Ответ: а) 2, 2, 2, 2 (или 2, 2, 4): б) нет: в) 9, 10, 11, 11, 11 или 9, 10, 11, 22.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно выполнены: а), б), впример), воценка) 4
Верно выполнены три пункта из четырех: а), б), впример), воценка) 3
Верно выполнены два пункта из четырех: а), б), впример), воценка) 2
Верно выполнены один пункт из четырех: а), б), впример), воценка) 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 501694: 501949 501989 502298 521705 Все

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Центр. Вариант 102.