ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Тип 19 № 501694 Добавить в вариант

i

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-⁠то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а)  Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.

б)  Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?

в)  Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.

Решение.

а)  Задуманные числа 2, 2, 2, 2, 2 дают требуемый набор, записанный на доске. (Или числа 2, 4, 4, или 2, 2, 2, 4.)

б)  Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе  — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе  — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 22 − 1  =  21. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.

в)  Число 7  — наименьшее число в наборе  — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе  — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит целой части $дробь: числитель: 41, знаменатель: 7 конец дроби$  , то есть 5. Кроме того, числа 8 и 10 меньше, чем сумма двух чисел 7, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 41 − 7 − 8 − 10  =  16. Таким образом, поскольку наименьшее задуманное число равно 7, оставшиеся задуманные числа  — это 8 и 8 или 16. Для задуманных чисел 7, 8, 8, 8, 10 и 7, 8, 10, 16 на доске будет записан набор, данный в условии.

Ответ: а)  2, 2, 2, 2, 2 (или 2, 4, 4 или 2, 2, 2, 4); б)  нет; в)  7, 8, 8, 8, 10 или 7, 8, 10, 16.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов: ―  обоснованное решение п. а; ―  обоснованное решение п. б; ―  обоснованная оценка количества задуманных чисел в п. в; ―  оба набора задуманных чисел в п. в	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 501694: 501949 501989 502298 ...501949 501989 502298 521705 Все

Источники:

ЕГЭ  — 2013;

Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017;

ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Центр.

Решение · Критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 19 № 501949 Добавить в вариант

i

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а)  Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

б)  Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22?

в)  Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.

Решение.

а)  Задуманные числа 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 дают требуемый набор, записанный на доске.

б)  Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе  — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе  — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 22 − 1  =  21. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.

в)  Число 7  — наименьшее число в наборе  — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе  — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит целой части $дробь: числитель: 41, знаменатель: 7 конец дроби ,$ то есть 5. Кроме того, числа 9 и 11 меньше, чем сумма двух чисел 7, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 41 − 7 − 9 − 11  =  14. Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 7, оставшиеся задуманные числа  — это 7 и 7 или 14. Для задуманных чисел 7, 7, 7, 9, 11 и 7, 9, 11, 14 на доске будет записан набор, данный в условии.

Ответ: а) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1; б) нет; в) 7, 7, 7, 9, 11 или 7, 9, 11, 14.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно выполнены: а), б), в_пример), в_оценка)	4
Верно выполнены три пункта из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	3
Верно выполнены два пункта из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	2
Верно выполнены один пункт из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 501694: 501949 501989 502298 ...501949 501989 502298 521705 Все

Решение · Критерии · 2 комментария · Видеокурс · Помощь

Тип 19 № 501989 Добавить в вариант

i

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а)  Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8.

б)  Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22?

в)  Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.

Решение.

а)  Задуманные числа 2, 2, 2, 2 дают требуемый набор, записанный на доске. Другой вариант: 2, 2, 4.

б)  Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе  — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе  — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 22 – 1 = 21. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.

в)  Число 9  — наименьшее число в наборе  — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе  — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит

целой части частного 52 и 9, то есть 5. Кроме того, числа 10 и 11 меньше, чем сумма двух чисел 9, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 52 − 9 − 10 − 11 = 22. Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 9, оставшиеся задуманные числа  — это 11 и 11 или 22. Для задуманных чисел 9, 10, 11, 11, 11 и 9, 10, 11, 22 на доске будет записан набор, данный в условии.

Ответ: а) 2, 2, 2, 2 (или 2, 2, 4): б) нет: в) 9, 10, 11, 11, 11 или 9, 10, 11, 22.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно выполнены: а), б), в_пример), в_оценка)	4
Верно выполнены три пункта из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	3
Верно выполнены два пункта из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	2
Верно выполнены один пункт из четырех: а), б), в_пример), в_оценка)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 501694: 501949 501989 502298 ...501949 501989 502298 521705 Все

Источники:

ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Центр. Вариант 102;

Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013.

Решение · Критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 19 № 502298 Добавить в вариант

i

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доске в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доске, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а)  Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 6, 9, 12, 15.

б)  Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 21, 23?

в)  Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 8, 9, 10, 17, 18, 19, 20, 27, 28, 29, 30, 37, 38, 39, 47.

Решение.

а)  Например, числа 3, 3, 3, 3, 3 дают требуемый набор, записанный на доске. Другой пример  — числа 3, 6, 6.

б)  Поскольку задуманные числа натуральные, наименьшее число в наборе  — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе  — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 23 − 1  =  22. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.

в)  Число 8  — наименьшее число в наборе  — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе  — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит целой части числа $\dfrac478,$ то есть 5. Кроме того, числа 9 и 10 меньше, чем сумма двух восьмёрок, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 47 − 8 − 9 − 10  =  20. Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 8, оставшиеся задуманные числа  — это 10 и 10 или 20 (если бы 20 получалось как 8 + 12 или 9 + 11, то были бы выписаны числа 12 или 11, но их нет). Для задуманных чисел 8, 9, 10, 10, 10 и 8, 9, 10, 20 на доске будет записан набор, данный в условии. (Для чисел 8, 9, 10, 20 это можно проверить непосредственно, а для чисел 8, 9, 10, 10, 10  — заметить, что они будут давать точно те же суммы, что и числа 8, 9, 10, 20.)

Ответ: а) 3, 3, 3, 3,3; б) нет; в) 8, 9, 10, 10, 10 или 8, 9, 10, 20.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов:   — обоснованное решение п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснованная оценка количества задуманных чисел в п. е;   — оба набора задуманных чисел в п. в	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 501694: 501949 501989 502298 ...501949 501989 502298 521705 Все

Решение · Критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 19 № 521705 Добавить в вариант

i

На листочке написано несколько натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое‐то число m, выписываемое на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется только одно такое число m, а все остальные числа, равные m, стираются. Например, если задуманы числа 2,3,4,5, то на доске будет записан набор 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14.

а)  Приведите пример записанных на листочке чисел, при которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8.

б)  Существует ли пример таких записанных на листочке чисел, для которых на доске записан набор чисел 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22?

в)  Приведите все примеры записанных на листочке чисел, для которых на доске будет записан набор чисел 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.

Решение.

а)  Например $2,2,2,2$

б)  Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе  — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе  — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 22 − 1 = 21. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.

в)  Число 9  — наименьшее число в наборе  — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе  — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит целой части $дробь: числитель: 52, знаменатель: 9 конец дроби ,$ то есть 5. Кроме того, числа 10 и 11 меньше, чем сумма двух чисел 9, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 52 − 9 − 10 − 11  =  22. Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 9, оставшиеся задуманные числа  — это 11 и 11 или 22. Для задуманных чисел 9, 10, 11, 11, 11 и 9, 10, 11, 22 на доске будет записан набор, данный в условии.

Ответ: а) 2, 2, 2, 2; б) нет; в) 9, 10, 11, 11, 11 или 9, 10, 11, 22.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 501694: 501949 501989 502298 ...501949 501989 502298 521705 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 228

Решение · Критерии · Видеокурс · Помощь