
Каждое из чисел a1, a2, …, a350 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим
S1 = a1+a2+...+a350,
S2 = a12+a22+...+a3502,
S3 = a13+a23+...+a3503,
S4 = a14+a24+...+a3504.
Известно, что S1 = 513.
а) Найдите S4, если еще известно, что S2 = 1097, S3 = 3243.
б) Может ли S4 = 4547 ?
в) Пусть S4 = 4745. Найдите все значения, которые может принимать S2.
Пусть количества единиц, двоек, троек и четвёрок среди …
равны
соответственно. Тогда
и
а) По условию
где
Решая систему четырёх линейных уравнений с четырьмя неизвестными, находим: Значит,
б) Если где
то
В последнем равенстве левая часть кратна 5, а правая — нет, поэтому
не может быть равным 4547.
в) Если где
то
Кроме того, поскольку
получаем:
Вычтем из первого полученного равенства второе: Значит,
делится на 5 и может равняться только 0 или 5. При
получаем:
При получаем:
Ответ: а) 11285; б) нет; в) 905 или 917.
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
---|---|
Верно выполнены: а), б), впример), воценка) | 4 |
Верно выполнены три пункта из четырех: а), б), впример), воценка) | 3 |
Верно выполнены два пункта из четырех: а), б), впример), воценка) | 2 |
Верно выполнены один пункт из четырех: а), б), впример), воценка) | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |