Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 502079

Каждое из чисел a1, a2, …, a350 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

S1 = a1+a2+...+a350,

S2 = a12+a22+...+a3502,

S3 = a13+a23+...+a3503,

S4 = a14+a24+...+a3504.

Известно, что S1 = 513.

 

а) Найдите S4, если еще известно, что S2 = 1097, S3 = 3243.

б) Может ли S4 = 4547 ?

в) Пусть S4 = 4745. Найдите все значения, которые может принимать S2.

Спрятать решение

Решение.

Пусть количества единиц, двоек, троек и четвёрок среди a_1, a_2,,a_350 равны m_1, m_2, m_3, m_4 соответственно. Тогда m_1 плюс m_2 плюс m_3 плюс m_4 = 350 и m_1 плюс 2m_2 плюс 3m_3 плюс 4m_4 = 513.

 

а) По условию

S_1 = m_1 плюс 2m_2 плюс 3m_3 плюс 4m_4 = 513, S_2 = m_1 плюс 4m_2 плюс 9m_3 плюс 16m_4 = 1097,

 

S_3 = m_1 плюс 8m_2 плюс 27m_3 плюс 64m_4 = 3243, где  m_1 плюс m_2 плюс m_3 плюс m_4 = 350.

Решая систему четырёх линейных уравнений с четырьмя неизвестными, находим: m_1=282, m_2=7, m_3=27, m_4=34. Значит,

S_4=282 плюс 16 умножить на 7 плюс 81 умножить на 27 плюс 256 умножить на 34 = 11285.

б) Если S_4 = m_1 плюс 16m_2 плюс 81m_3 плюс 256m_4 = 4547, где m_1 плюс m_2 плюс m_3 плюс m_4=350, то 15m_2 плюс 80m_3 плюс 255m_4 =4197. В последнем равенстве левая часть кратна 5, а правая  — нет, поэтому S_4 не может быть равным 4547.

 

в) Если S_4 = m_1 плюс 16m_2 плюс 81m_3 плюс 256m_4 = 4745, где m_1 плюс m_2 плюс m_3 плюс m_4=350, то 15m_2 плюс 80m_3 плюс 255m_4 =4395. Кроме того, поскольку m_1 плюс 2m_2 плюс 3m_3 плюс 4m_4 = 513. получаем:

m_2 плюс 2m_3 плюс 3m_4=163 равносильно 15m_2 плюс 30m_3 плюс 45m_4=2445.

Вычтем из первого полученного равенства второе: 50m_3 плюс 210m_4=1950 равносильно 5m_3 плюс 21m_4=195. Значит, m_4 делится на 5 и может равняться только 0 или 5. При m_4=0 получаем:

m_3= дробь: числитель: 195 минус 21m_4, знаменатель: 5 конец дроби =39, m_2=163 минус 2m_3 минус 3m_4=85,  m_1=350 минус m_2 минус m_3 минус m_4=226, S_2=m_1 плюс 4m_2 плюс 9m_3 плюс 16m_4=917.

При m_4=5 получаем:

m_3= дробь: числитель: 195 минус 21m_4, знаменатель: 5 конец дроби =18, m_2=163 минус 2m_3 минус 3m_4=112,  m_1=350 минус m_2 минус m_3 минус m_4=215, S_2=m_1 плюс 4m_2 плюс 9m_3 плюс 16m_4=905.

 

Ответ: а) 11285; б) нет; в) 905 или 917.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно выполнены: а), б), впример), воценка) 4
Верно выполнены три пункта из четырех: а), б), впример), воценка) 3
Верно выполнены два пункта из четырех: а), б), впример), воценка) 2
Верно выполнены один пункт из четырех: а), б), впример), воценка) 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 502079: 502099 Все

Источник: ЕГЭ по математике 19.06.2013. Основная волна, резервная волна. Центр. Вариант 501, Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013
Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии