Каждое из чисел a1, a2, …, a350 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим
S1 = a1+a2+...+a350,
S2 = a12+a22+...+a3502,
S3 = a13+a23+...+a3503,
S4 = a14+a24+...+a3504.
Известно, что S1 = 513.
а) Найдите S4, если еще известно, что S2 = 1097, S3 = 3243.
б) Может ли S4 = 4547 ?
в) Пусть S4 = 4745. Найдите все значения, которые может принимать S2.
Пусть количества единиц, двоек, троек и четвёрок среди 
…
равны 
соответственно. Тогда 
и 
а) По условию
где 
Решая систему четырёх линейных уравнений с четырьмя неизвестными, находим: 
Значит,
б) Если 
где 
то 
В последнем равенстве левая часть кратна 5, а правая — нет, поэтому 
не может быть равным 4547.
в) Если 
где то 
Кроме того, поскольку получаем:
Вычтем из первого полученного равенства второе: 
Значит, 
делится на 5 и может равняться только 0 или 5. При 
получаем:
При 
получаем:
Ответ: а) 11285; б) нет; в) 905 или 917.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно выполнены: а), б), впример), воценка) | 4 |
| Верно выполнены три пункта из четырех: а), б), впример), воценка) | 3 |
| Верно выполнены два пункта из четырех: а), б), впример), воценка) | 2 |
| Верно выполнены один пункт из четырех: а), б), впример), воценка) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |