Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 502099

Каждое из чисел a1, a2, …, a450 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

S1 = a1+a2+...+a450,

S2 = a12+a22+...+a4502,

S3 = a13+a23+...+a4503,

S4 = a14+a24+...+a4504.

Известно, что S1 = 739.

а) Найдите S4, если еще известно, что S2 = 1779, S3 = 5611.

б) Может ли S4 = 6547 ?

в) Пусть S4 = 6435. Найдите все значения, которые может принимать S2.

Спрятать решение

Решение.

Пусть количества единиц, двоек, троек и четверок среди a_1, a_2, a_3...a_450 равны m_1, m_2, m_3, m_4 соответственно. Тогда m_1 плюс m_2 плюс m_3 плюс m_4=450 и m_1 плюс 2m_2 плюс 3m_3 плюс 4m_4=739.

а) По условию

S_1=m_1 плюс 2m_2 плюс 3m_3 плюс 4m_4=739, S_2=m_1 плюс 4m_2 плюс 9m_3 плюс 16m_4=1779,

S_3=m_1 плюс 8m_2 плюс 27m_3 плюс 64m_4=5611, где m_1 плюс m_2 плюс m_3 плюс m_4=450.

Решая систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными, находим:

m_1=331, m_2=10, m_3=48, m_4=61. Значит, S_4=331 плюс 16 умножить на 10 плюс 81 умножить на 48 плюс 256 умножить на 61=19995.

б) Если S_4=m_1 плюс 16m_2 плюс 81m_3 плюс 256m_4=6547, где m_1 плюс m_2 плюс m_3 плюс m_4=450, то

15m_2 плюс 80m_3 плюс 255m_4=6097.

В последнем равенстве левая часть кратна 5, а правая - нет, поэтому S_4 не может быть равным 6547.

в) Если S_4=m_1 плюс 16m_2 плюс 81m_3 плюс 256m_4=6435, где m_1 плюс m_2 плюс m_3 плюс m_4=450, то

15m_2 плюс 80m_3 плюс 255m_4=5985.

Кроме того, поскольку m_1 плюс 2m_2 плюс 3m_3 плюс 4m_4=739, получаем:

m_2 плюс 2m_3 плюс 3m_4=289; 15m_2 плюс 30m_3 плюс 45m_4=4335.

Вычтем из первого полученного равенства второе : 50m_3 плюс 210m_4=1650; 5m_3 плюс 21m_4=165. Значит, m_4 делится на 5 и может равняться только 0 или 5.

При m_4=0 получаем:

m_3= дробь: числитель: 165 минус 21m_4, знаменатель: 5 конец дроби =33,\enskip m_2=289 минус 2m_3 минус 3m_4=223,

 m_1=450 минус m_2 минус m_3 минус m_4=194, \enskip S_2=m_1 плюс 4m_2 плюс 9m_3 плюс 16m_4=1383.

При m_4=5 получаем:

m_3= дробь: числитель: 165 минус 21m_4, знаменатель: 5 конец дроби =12, \enskip m_2=289 минус 2m_3 минус 3m_4=250,

 m_1=450 минус m_2 минус m_3 минус m_4=183, \enskip S_2=m_1 плюс 4m_2 плюс 9m_3 плюс 16m_4=1371.

 

 

Ответ: a) 19995; б) нет; в) 1371 или 1383.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно выполнены: а), б), впример), воценка) 4
Верно выполнены три пункта из четырех: а), б), впример), воценка) 3
Верно выполнены два пункта из четырех: а), б), впример), воценка) 2
Верно выполнены один пункт из четырех: а), б), впример), воценка) 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 502079: 502099 Все

Источник: ЕГЭ по математике 19.06.2013. Основная волна, резервная волна. Центр. Вариант 502, Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013
Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии