Каждое из чисел a1, a2, …, a450 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим
S1 = a1+a2+...+a450,
S2 = a12+a22+...+a4502,
S3 = a13+a23+...+a4503,
S4 = a14+a24+...+a4504.
Известно, что S1 = 739.
а) Найдите S4, если еще известно, что S2 = 1779, S3 = 5611.
б) Может ли S4 = 6547 ?
в) Пусть S4 = 6435. Найдите все значения, которые может принимать S2.
Пусть количества единиц, двоек, троек и четверок среди 
равны 
соответственно. Тогда 
и 
а) По условию
где 
Решая систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными, находим:
Значит, 
б) Если 
где 
то
В последнем равенстве левая часть кратна 5, а правая - нет, поэтому 
не может быть равным 6547.
в) Если 
где то
Кроме того, поскольку 
получаем:
Вычтем из первого полученного равенства второе : 
Значит, 
делится на 5 и может равняться только 0 или 5.
При 
получаем:
При 
получаем:
Ответ: a) 19995; б) нет; в) 1371 или 1383.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно выполнены: а), б), впример), воценка) | 4 |
| Верно выполнены три пункта из четырех: а), б), впример), воценка) | 3 |
| Верно выполнены два пункта из четырех: а), б), впример), воценка) | 2 |
| Верно выполнены один пункт из четырех: а), б), впример), воценка) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |