Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 502139

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n больше или равно 3).

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 18?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 800?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 111.

Спрятать решение

Решение.

а) Да, может. Числа 3, 4, 5, 6 (или 5, 6, 7) составляют арифметическую прогрессию, их сумма равна 18.

б) Пусть a — первый член, d — разность, n — число членов прогрессии, тогда их сумма равна  дробь: числитель: 2a плюс d(n минус 1), знаменатель: 2 конец дроби n. Чтобы количество членов было наибольшим, первый член и разность должны быть наименьшими. Пусть они равны 1, тогда по условию  дробь: числитель: n(n плюс 1), знаменатель: 2 конец дроби меньше 800. Наибольшее натуральное решение этого неравенства n = 39.

в) Для суммы членов арифметической прогрессии верно:

 дробь: числитель: 2a плюс d(n минус 1), знаменатель: 2 конец дроби умножить на n = 111 равносильно (2a плюс d(n минус 1))n=2 умножить на 3 умножить на 37.

Таким образом, число членов прогрессии n является делителем числа 222. Если n больше или равно 37, то левая часть больше 222: (2a плюс d(n минус 1))n больше или равно 37 умножить на 36 больше 222, следовательно, n меньше 37. Поскольку n больше или равно 3, получаем, что n=3 или n=6. Прогрессии из 3 и 6 членов с суммой 111 существуют: например, 36, 37, 38 и 16, 17, 18, 19, 20, 21.

 

Ответ: а) да; б) 39; в) 3; 6.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно выполнены: а), б), впример), воценка) 4
Верно выполнены три пункта из четырех: а), б), впример), воценка) 3
Верно выполнены два пункта из четырех: а), б), впример), воценка) 2
Верно выполнены один пункт из четырех: а), б), впример), воценка) 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 502119: 501512 502139 Все

Источник: ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Вариант 902.
Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии