Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 501512

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n\geqslant 3).

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.

Спрятать решение

Решение.

а) Да, может. Числа 2, 3, 4, 5 составляют арифметическую прогрессию, их сумма равна 14.

б) Пусть a — первый член, d — разность, n — число членов прогрессии, тогда их сумма равна  дробь: числитель: 2a плюс d(n минус 1), знаменатель: 2 конец дроби n. Чтобы количество членов было наибольшим, первый член и разность должны быть наименьшими. Пусть они равны 1, тогда по условию  дробь: числитель: n(n плюс 1), знаменатель: 2 конец дроби меньше 900. Наибольшее натуральное решение этого неравенства n = 41. Такой результат получается при прогрессии 1 плюс 2 плюс \ldots плюс 41=861.

в) Для суммы членов арифметической прогрессии имеем:

 дробь: числитель: 2a плюс d(n минус 1), знаменатель: 2 конец дроби n = 123 равносильно (2a плюс d(n минус 1))n=2 умножить на 3 умножить на 41.

Таким образом, число членов прогрессии n является делителем числа 246. Если n \geqslant 41, то левая часть больше 246: (2a плюс d(n минус 1))n \geqslant 42 умножить на 41 больше 246, следовательно, n меньше 41. Поскольку n \geqslant 3, получаем, что n=3 или n=6. Прогрессии из трёх и шести членов с суммой 123 существуют: например, 40, 41, 42 и 3, 10, 17, 24, 31, 38.

 

Приведем другое решение.

а)  2 плюс 3 плюс 4 плюс 5=14.

б) (2a_1 плюс (n минус 1)d)n \leqslant 1800.43 умножить на 42 = 1806, 42 умножить на 41 = 1722. Так как 2a_1 плюс (n минус 1)d \leqslant 2 плюс (n минус 1) = n плюс 1 Число n не может быть равно 42 или быть больше. Число n=41, a=1, d=1 удовлетворяет условию.

в) (2a_1 плюс (n минус 1)d)n =246, 3 \leqslant n \leqslant 15, (n \geqslant 16 \Rightarrow 2a_1 плюс (n минус 1)d \geqslant 17 ) — не удовлетворяет. 16 умножить на 15=240, 246=1 умножить на 246=2 умножить на 123=3 умножить на 82 = 6 умножить на 41.

Так как 3 \leqslant n \leqslant 15 имеем n=3, 2a_1 плюс (n минус 1)d=82: 2a_1 плюс 2d=82, a_1 плюс d=41:41 минус d,41, 41 плюс d — много есть таких прогрессий. Имеем n=6,2a_1 плюс (n минус 1)d=41: 2a_1 плюс 2d=82, a_1 плюс 5d=41: d=7, a_1=3: 3, 10, 17, 24, 31, 38 — есть такая прогрессия.

 

Ответ: а) да; б) 41; в) 3; 6.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно выполнены все 3 пункта: а), б) и в)4
Выполнены все три пункта, однако в одном из пунктов ответ недостаточно

обоснован или неверен вследствие арифметической ошибки

3
Верно выполнены пункты а) и б), либо верно выполнен пункт в) 2
Верно выполнен один из 2-х пунктов: а) или б)1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 502119: 501512 502139 Все

Источник: ЕГЭ 28.04.2014 по математике. Досрочная волна. Вариант 1., ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Вариант 902., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013
Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии