Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 502119

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n\geqslant3).

 

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.

Спрятать решение

Решение.

Без ограничения общности можно считать, что числа составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть a — первый член этой прогрессии, d её разность. Тогда сумма её членов S_n= дробь: числитель: 2a плюс (n минус 1)d, знаменатель: 2 конец дроби n.

 

а) Да, может. Числа 1, 2, 3, 4 составляют арифметическую прогрессию, и их сумма равна 10.

 

б) Для суммы членов арифметической прогрессии верно неравенство

 дробь: числитель: 2a плюс (n минус 1)d, знаменатель: 2 конец дроби умножить на n \geqslant дробь: числитель: 2 плюс (n минус 1), знаменатель: 2 конец дроби умножить на n = дробь: числитель: n(n плюс 1), знаменатель: 2 конец дроби .

Значит,  дробь: числитель: n(n плюс 1), знаменатель: 2 конец дроби меньше 1000, откуда находим n \leqslant 44. Сумма арифметической прогрессии 1, 2, …, 44 равна 990 < 1000 . Значит, наибольшее значение n равно 44.

 

в) Для суммы членов арифметической прогрессии имеем:

 дробь: числитель: 2a плюс d(n минус 1), знаменатель: 2 конец дроби умножить на n = 129;~(2a плюс d(n минус 1))n=258=2 умножить на 3 умножить на 43.

Таким образом, число n является делителем числа 258. Если n \geqslant 43, то (2a плюс d(n минус 1))n \geqslant 44 умножить на 43 больше 258, следовательно, n меньше 43. Поскольку n \geqslant 3, получаем, что n=3 или n=6. Прогрессии из 3 и 6 членов с суммой 129 существуют: например, 42, 43, 44 и 19, 20, 21, 22, 23, 24.

 

Ответ: а) да; б) 44; в) 3, 6.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующих результатов:

 

— обоснованное решение п. а;

— обоснованное решение п. б;

— верно найдены оба значения n в п. в;

— доказано существование ровно двух значений n в п. в

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 502119: 501512 502139 Все

Источник: ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Вариант 901., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013
Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии