В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD = R.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что R = 5 и CD = 15.
а) Пусть O — центр вписанной окружности треугольника 
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит, AO — биссектриса угла 
Треугольник AOD прямоугольный и равнобедренный, поэтому 
Следовательно, 
б) Обозначим 
По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, 
и 
По теореме Пифагора 
или 
Из этого уравнения находим, что 
Тогда
Следовательно,
Ответ: 40.