В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD = R.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что R = 2 и CD = 10.
а) Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит, AO — биссектриса угла BAC. Треугольник AOD прямоугольный и равнобедренный, поэтому ∠OAD = 45°. Следовательно, ∠BAC = 90°.
б) Обозначим BF = x. По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, AE = AD = 2, CF = CD = 10 и BE = BF = x. По теореме Пифагора BC2 = AC2 + AB2, или (10 + x)2 = 122 + (2 + x)2. Из этого уравнения находим, что x = 3. Тогда
Следовательно,
Ответ: 