Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 505107

На окружности некоторым способом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.

а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?

б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?

в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стояших через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?

Спрятать решение

Решение.

а) При любой расстановке разность числа 11 и любого соседнего с ним числа меньше 11. Значит, всегда найдутся хотя бы две разности меньше 11.

б) Например, для расстановки 1, 12, 2, 13, 3, 14, 4, 15, 5, 16, 6, 17, 7, 18, 8, 19, 9, 20, 10, 21, 11 все разности не меньше 10.

в) Оценим значение k. Рассмотрим числа от 1 до 7. Если какие-то два из них стоят рядом или через одно, то найдется разность меньше 7. Иначе они стоят через два, поскольку всего чисел 21. В этом случае число 8 стоит рядом или через одно с каким-то числом от 2 до 7 и найдется разность меньше 7.

Таким образом, всегда найдется разность меньше 7. Все разности могут быть не меньше 6. Например, для расстановки 1, 8, 15, 2, 9, 16, 3, 10, 17, 4, 11, 18, 5, 12, 19, 6, 13, 20, 7, 14, 21 все разности не меньше 6.

 

Ответ: а) нет; б) да; в) 6.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные результаты (см. критерий на 1 балл).4
Верно получены три из перечисленных результатов (см. критерий на 1 балл).3
Верно получены два из перечисленных результатов (см. критерий на 1 балл).2
Верно получен один из перечисленных результатов:

― приведен верный пример в пункте а);

― обоснованное решение пункта б);

― доказательство невозможности равенства полученных произведений в);

― доказательство того, что любое четное натуральное число является

ответом на вопрос пункта в).

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2014, ЕГЭ 28.04.2014 по математике. Досрочная волна. Вариант 2., ЕГЭ 28.04.2014 по математике. Досрочная волна. Вариант 1.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства