В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M сторона основания AB равна 6. На ребре AB отмечена точка K, так что AK : KB = 5 : 1.
а) Докажите, что объем пирамиды делится плоскостью MKC в отношении 5 : 1.
б) Сечение MKC является равнобедренным треугольником с основанием MC. Найдите угол между плоскостями MLC и MBC, где L — середина AB.
а) а) Объем пирамиды равен произведению высоты на одну треть площади основания. Заметим, что у пирамид AKCM и BKCM общая высота, проведенная из вершины M. Основания этих пирамид — треугольники AKC и BKC соответственно. У этих треугольников, в свою очередь, общая высота, проведенная из вершины C, поэтому их площади относятся как 
Следовательно, так же относятся и объемы пирамид AKCM и BKCM.
б) В прямоугольных треугольниках MKL и CKL сторона KL — общая и 
Значит, эти треугольники равны и 
Прямоугольные треугольники MBL и CBL равны по двум катетам. Значит, 
Пусть N — середина 
Тогда прямая MC перпендикулярна BN и LN, поэтому искомый угол между плоскостями равен углу 
В прямоугольном треугольнике BNL имеем 
Значит,
Ответ: 
не особо понятен смысл наличия сечения МКС в задаче, ведь CL можно было бы найти из равностороннего АВС
Тем более не понятен смысл доказательства, что МС=CL=АВ, ведь
по условию - пирамида ПРАВИЛЬНАЯ, значит все ребра фигуры равны
Задача на самом деле неудачная, но прежде всего не стоит забывать, что правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр, это не одно и то же. У второго, действительно, все ребра равны, а вот у первой нет, боковые ребра равны между собой, но не равны ребрам основания. Указанное сечение, как раз и необходимо, для доказательства того, что данная правильная треугольная пирамида является правильным тетраэдром. Указанным свойством обладают только точки ребра основания правильного тетраэдра, причем абсолютно любая такая точка. В правильной треугольной пирамиде не являющейся правильным тетраэдром не найдется точки ребра основания с таким свойством.
По логике , при отдаление или приближении точки K относительно L угол между плоскостями будет меняться. а в условие не сказано, на каком расстоянии от точки L находится К
См. комментарий выше.
Скажите пожалуйста, если получился ответ
— этот ответ является верным?
Хочется верить, что готовящийся к ЕГЭ школьник сам в состоянии проверить, что
Добрый день!
"В прямоугольных треугольниках MKL и CKL сторона KL — общая и MK=KC. Значит, эти треугольники равны..."
Особенно интересно утверждение о равенстве треугольников.
Допускаю, что мне известны не все, а лишь три признака равенства треугольников: 1. По двум сторонам и углу между ними, 2. По двум углам и стороне между ними, 3. По трем сторонам.
Никакое из трех свойств не подходит.
Дмитрий, для прямоугольных треугольников есть особые признаки равенства, например, по гипотенузе и катету. Он легко сводится к общему признаку по трём сторонам. Ведь вторые катеты Вы всегда можете найти по теореме Пифагора, и они тоже окажутся равны.