≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505685

В треугольнике ABC точка O — центр описанной окружности, точка R лежит на отрезке BC и BR = RC. Описанная около треугольника BRO окружность пересекает AB в точке T. Известно, что угол BOR равен 30 градусов, RT = 8, BT = 6.

а) Докажите, что TR || AC.

б) Найдите площадь треугольника ABC.

Решение.

а) Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров. Покажем, что точка T является серединой стороны AB. Во-первых, треугольник BOR является прямоугольным (т.к. R — середина BC, то OR — серединный перпендикуляр, поэтому ), то есть получается, что BO — гипотенуза и диаметр малой окружности с центром в точке E. Далее, треугольник BTO вписан в малую окружность, а его угол BTO опирается на диаметр, и потому равен Так как , и O является центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC, то OT — серединный перпендикуляр, то есть T — середина AB. Значит, TR — средняя линия треугольника ABC, поэтому Что и требовалось доказать.

 

б) Из предыдущего пункта получаем, что AC = 2 TR = 16, AB = 2 TB = 12. Углы ROB и REB опираются на одну и ту же дугу RB, поэтому они равны; отсюда получаем, что (соответственные при параллельных прямых). В итоге получаем:

 

Ответ: 48.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 55.