СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 506067

На шести елках сидят шесть сорок — по одной на каждой елке. Елки растут с интервалом в 10 м. Если какая-то сорока перелетает с одной елки на другую, то какая-нибудь, другая сорока обязательно перелетает на столько же метров, но в обратном направлении.

а) Могут ли все сороки собраться на одной елке?

б) А если сорок и елок семь?

в) А если елки стоят по кругу?

Решение.

а) Посчитаем суммарное расстояние от всех сорок до самой левой елки. Очевидно, оно равно 10 + 20 + 30 + 40 + 50 = 150 м и не меняется после каждого перемещения сорок.

Если все сороки окажутся на одной елке, то расстояние от этой елки до самой левой равно 150:6 = 25 м, но ясно, что на этом расстоянии никакой елки не растет.

 

б) Занумеруем елки последовательно. Тогда пусть сороки с 1-ой и 7-ой елок летят на 4-ую. Аналогично, сороки со 2-й и 6-й елок летят на 4-ую. Аналогично, сороки с 3-й и 5-й елок летят на 4-ую. Таким образом, все сороки собрались на четвертой елке.

 

в) Занумеруем елки по кругу (от 1 до 6). Поставим в соответствие каждой сороке номер елки, на которой она сидит. Ясно, что после каждого перелета сорок четность суммы номеров елок, на которых они сидят, не меняется. А изначально это сумма равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Значит, она останется нечетной. Если же все сороки соберутся на одной елке, то сумма их номеров должна делиться на 6, то есть быть четной. Противоречие.

 

Ответ: а) Нет; б) Да; в) Нет.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 37.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки