Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 507598

Окружность, вписанная в треугольник ABC, площадь которого равна 114, касается средней линии, параллельной стороне BC. Известно, что BC = 19. Найдите сторону AB.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим AB = x, AC = y, p — полупериметр треугольника ABC. Пусть M и N — середины сторон AB и AC соответственно. Тогда MN= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC= дробь: числитель: 19, знаменатель: 2 конец дроби .

В трапецию BMNC вписана окружность поэтому

BM плюс CN=BC плюс MN=19 плюс дробь: числитель: 19, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 57, знаменатель: 2 конец дроби .

Значит,

x плюс y=AB плюс AC=2BM плюс 2CN=2(BM плюс CN)=2(BC плюс MN)=2 умножить на дробь: числитель: 57, знаменатель: 2 конец дроби =57,y=57 минус x.

p= дробь: числитель: AB плюс AC плюс BC, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: x плюс (57 минус x) плюс 19, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 57 плюс 19, знаменатель: 2 конец дроби =38.

По формуле Герона

S_ABC= корень из (p(p минус AB)(p минус AC)(p минус BC)) = корень из (38(38 минус x)(38 минус (57 минус x))(38 минус 19)) =19 корень из (2(38 минус x)(x минус 19)) =114 равносильно

 равносильно корень из (2(38 минус x)(x минус 19)) =6 равносильно (38 минус x)(x минус 19)=18 равносильно x в квадрате минус 57x плюс 740=0

Отсюда находим, что x = 20 или x = 37.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Верноо рассмотрена геометрическая конфигурация, и обоснованно получены одно или оба значения искомой величины неправильные из-за арифметической ошибки1
Верно рассмотрена геометрическая конфигурация, и обоснованно получено одно правильное значение искомой величины2
Верно рассмотрена геометрическая конфигурация, и обоснованно получен правильный ответ.3
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 500920: 507598 511448 Все