Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 507645

Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна 1.

а) Докажите, что точки B и C_1 равноудалены от плоскости ACD_1.

б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости ACD1.

Спрятать решение

Решение.

а) Прямые CD_1 и BA_1 параллельны. Аналогично BC_1||AD_1. Значит, по признаку параллельности плоскостей, ACD_1||BC_1A_1. Поэтому точки B и С_1 равноудалены от плоскости ACD_1.

б) Плоскость ACD_1 проходит через точку пересечения диагоналей квадрата ABCD. Опустим перпендикуляр OO_1 на плоскость A_1B_1C_1. Точка O_1 является точкой пересечения диагоналей квадрата A_1B_1C_1D_1. Диагонали квадрата в  корень из 2 раз больше стороны квадрата и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому OB=O_1D_1= дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби . Отрезок OO_1 равен стороне квадрата. Из прямоугольного треугольника OO_1D_1 по теореме Пифагора найдём OD_1:

OD_1= корень из OO_1 в квадрате плюс O_1D_1 в квадрате = корень из 1 в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = корень из дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

Найдём синус угла OD_1O_1:

 синус \angle OD_1O_1= дробь: числитель: OO_1, знаменатель: OD_1 конец дроби = корень из д робь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .

Опустим перпендикуляр BH на плоскость ACD_1, он попадёт на продолжение отрезка D_1O. Длина отрезка BH и будет являться расстоянием от точки B до плоскости ACD_1. Рассмотрим четырёхугольник BB_1D_1D: BB_1||DD_1, BB_1=DD_1 и BB_1\perp A_1B_1C_1D_1, следовательно, BB_1D_1D — прямоугольник, откуда BD||B_1D_1. Прямая HD_1 — секущая при параллельных прямых BD и B_1D_1, поэтому углы HOB и OD_1O_1 равны. Из прямоугольного треугольника OBH найдём BH:

BH=OB синус \angle BOH= дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: корень из 3 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби = дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 3 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Способ нахождения угла верен, но получен неверный ответ или решение незакончено.1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 505524: 507645 Все