Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1.
а) Докажите, что прямая 
перпендикулярна плоскости 
б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости ACD1.
а) 
значит, по теореме о трех перпендикулярах, 
Аналогично 
Тогда, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, 
б) Плоскость 
проходит через точку пересечения диагоналей квадрата 
Опустим перпендикуляр 
на плоскость 
Точка 
является точкой пересечения диагоналей квадрата 
Диагонали квадрата в 
раз больше стороны квадрата и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому 
Отрезок равен стороне квадрата. Из прямоугольного треугольника 
по теореме Пифагора найдём 
Найдём синус угла 
В плоскости BOD1 опустим перпендикуляр BH на прямую OD1. Заметим, что прямая AC перпендикулярна плоскости BOD1 и, следовательно, BH перпендикулярен прямой AC. Таким образом, BH перпендикулярен плоскости ACD1, а длина отрезка BH будет являться расстоянием от точки B до плоскости Рассмотрим четырёхугольник 
и 
следовательно, 
— прямоугольник, откуда 
Прямая HD1 — секущая при параллельных прямых BD и 
поэтому углы HOB и 
равны. Из прямоугольного треугольника OBH найдём
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна 1.
а) Докажите, что точки B и 
равноудалены от плоскости
б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости ACD1.
а) Прямые 
и 
параллельны. Аналогично 
Значит, по признаку параллельности плоскостей, 
Поэтому точки B и 
равноудалены от плоскости
б) Плоскость проходит через точку пересечения диагоналей квадрата Опустим перпендикуляр на плоскость Точка является точкой пересечения диагоналей квадрата Диагонали квадрата в раз больше стороны квадрата и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому Отрезок равен стороне квадрата. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём
Найдём синус угла
Опустим перпендикуляр BH на плоскость 
он попадёт на продолжение отрезка 
Длина отрезка BH и будет являться расстоянием от точки B до плоскости Рассмотрим четырёхугольник и следовательно, — прямоугольник, откуда Прямая 
— секущая при параллельных прямых BD и поэтому углы HOB и равны. Из прямоугольного треугольника OBH найдём 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Наверх