Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 507662

Дан параллелограмм ABCD, AB = 3, BC = 7, ∠A = 60°. Окружность с центром в точке O касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.

Спрятать решение

Решение.

На первый взгляд, окружностей, удовлетворяющих условию, две: каждая из них вписана в правильный треугольник. Эти треугольники имеют стороны равные 7 и 3 соответственно. Для треугольника со стороной 7 радиус равен r= дробь: числитель: 7 умножить на синус 60 градусов, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 7 корень из (3) , знаменатель: 6 конец дроби .

Найдем площадь невыпуклого четырехугольника как сумму площадей треугольников AOB и AOD:

S_ABOD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB умножить на r плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AD умножить на r= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 10 умножить на дробь: числитель: 7 корень из (3) , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 35 корень из (3) , знаменатель: 6 конец дроби .

Для треугольника со стороной 3 радиус равен r= дробь: числитель: 3 умножить на синус 60 градусов, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби .

Чтобы найти площадь четырехугольника ABOD, вычтем из площади параллелограмма площади треугольников BOC и DOC:

S_ABOD=AB умножить на AD умножить на синус 60 градусов минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC умножить на r минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби CD умножить на r=8 корень из (3) .

Однако первый случай невозможен (на это обратил наше внимание Олег Цимбалист). Действительно, для равностороннего треугольника со стороной AD, равной 7, расстояние от точки А до точки касания со вписанной окружностью будет равно разности полупериметра и противоположной стороны, то есть 3,5. Таким образом, данное расстояние на 0,5 превосходит длину стороны AB параллелограмма ABCD. По условию задачи, окружность с центром в точке О должна касаться биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла.

Но в первом случае точка касания окружности с прямой AB не принадлежит стороне AB параллелограмма ABCD. Иными словами, данная окружность касается только одной из сторон исходного параллелограмма, исходящих из вершины его острого угла A, а не двух сторон, как того требует условие.

 

Ответ: 8 корень из (3) .

 

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ 3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 507617: 507662 507812 Все

Спрятать решение · Прототип задания · ·
Олег Цимбалист 10.11.2017 23:34

Вероятно, первое решение следует исключить.

В самом деле, для равностороннего треугольника со стороной AD, равной 7, расстояние от точки А до точки касания со вписанной окружностью будет равно разности полупериметра и противоположной стороны, то есть (7+7+7):2-7=3,5. Таким образом, данное расстояние на 0,5 превосходит длину стороны AB параллелограмма ABCD. По условию задачи, окружность с центром в точке О должна касаться биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Как видно, первый случай не удовлетворяет условию задачи, так как точка касания окружности с прямой AB не принадлежит стороне AB параллелограмма ABCD, иными словами, данная окружность касается только одной из сторон исходного параллелограмма, исходящих из вершины его острого угла A, а не двух сторон, как того требует условие задачи.