Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 507812

Дан параллелограмм ABCD, AB = 3, BC = 5, ∠A = 60°. Окружность с центром в точке O касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.

Спрятать решение

Решение.

Окружностей две: каждая из них вписанная в правильный треугольник. Эти треугольники имеют стороны равные 5 и 3 соответственно. Для треугольника со стороной 5 радиус равен r= дробь: числитель: 5 умножить на синус 60 градусов, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 5 корень из (3) , знаменатель: 6 конец дроби .

Найдем площадь невыпуклого четырехугольника как сумму площадей треугольников AOB и AOD:

S_ABOD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB умножить на r плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AD умножить на r= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 8 умножить на дробь: числитель: 5 корень из (3) , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 10 корень из (3) , знаменатель: 3 конец дроби .

Для треугольника со стороной 3 радиус равен

r= дробь: числитель: 3 умножить на синус 60 градусов, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби .

Чтобы найти площадь четырехугольника ABOD, вычтем из площади параллелограмма площади треугольников BOC и DOC:

S_ABOD=AB умножить на AD умножить на синус 60 градусов минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC умножить на r минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби CD умножить на r= дробь: числитель: 11 корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 10 корень из 3 , знаменатель: 3 конец дроби или  дробь: числитель: 11 корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ 3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 507617: 507662 507812 Все

Спрятать решение · Прототип задания · ·
Димон Фирсов 10.03.2015 20:00

Извините, а разве не требуется сначала каким-то образом доказать, что в первом случае ВС именно касательная к окружности или это можно не доказывать?

Александр Иванов

1. То, что ВС именно касательная к данной окружности в решении нигде не использовалось. Поэтому зачем это доказывать?

2. А если Вы всё же попытаетесь это доказать, то у Вас не получится, потому что ВС касательной к данной окружности не является.