Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д14 C4 № 507701
i

Дан тре­уголь­ник ABC со сто­ро­на­ми AB = 34, AC = 65 и BC = 93. На сто­ро­не BC взята точка M, причём AM  =  20. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AMB.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть p  — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC, AH  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка. Тогда

p= дробь: чис­ли­тель: 34 плюс 65 плюс 93, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 192, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =96.

По фор­му­ле Ге­ро­на

S_\triangle ABC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: p левая круг­лая скоб­ка p минус AB пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка p минус AC пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка p минус BC пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та == ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 96 левая круг­лая скоб­ка 96 минус 34 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 96 минус 65 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 96 минус 93 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 96 умно­жить на 62 умно­жить на 31 умно­жить на 3 конец ар­гу­мен­та =31 умно­жить на 4 умно­жить на 6=31 умно­жить на 24.

Тогда AH= дробь: чис­ли­тель: 2S_\triangle ABC, зна­ме­на­тель: BC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на 31 умно­жить на 24, зна­ме­на­тель: 93 конец дроби =16.

Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков AHM и AHB на­хо­дим, что

MH= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AM в квад­ра­те минус AH в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 20 в квад­ра­те минус 16 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =12,

BH= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AB в квад­ра­те минус AH в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 34 в квад­ра­те минус 16 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =30.

Если точка M лежит между точ­ка­ми B и H (рис. 1), то

BM=BH минус MH=30 минус 12=18.

Сле­до­ва­тель­но, S_\triangle AMB= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BM умно­жить на AH= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 18 умно­жить на 16=144. Если же точка M лежит между точ­ка­ми C и H (рис. 2), то

BM=BH плюс MH=30 плюс 12=42.

Сле­до­ва­тель­но, S_\triangle AMB= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BM умно­жить на AH= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 42 умно­жить на 16=336.

 

Ответ: 144 или 336.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Рас­смот­ре­ны все воз­мож­ные гео­мет­ри­че­ские кон­фи­гу­ра­ции, и по­лу­чен пра­виль­ный ответ 3
Рас­смот­ре­на хотя бы одна воз­мож­ная кон­фи­гу­ра­ция, в ко­то­рой по­лу­че­но пра­виль­ное зна­че­ние ис­ко­мой ве­ли­чи­ны2
Рас­смот­ре­на хотя бы одна воз­мож­ная гео­мет­ри­че­ская кон­фи­гу­ра­ция, в ко­то­рой по­лу­че­но зна­че­ние ис­ко­мой ве­ли­чи­ны, не­пра­виль­ное из-за гео­мет­ри­че­ской ошиб­ки1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 507701: 511477 507697 Все

Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки и их свой­ства
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026