ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 507704 Добавить в вариант

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус 2x плюс синус в квадрате x минус синус x= косинус x.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

а)  Перенесём все члены в левую часть, преобразуем и разложим левую часть на множители:

$синус x косинус x плюс синус в квадрате x минус синус x минус косинус x=0 равносильно$

$равносильно синус x левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка минус левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка =0.$

1 случай: $синус x= 1,$ $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

2 случай: $косинус x плюс синус x =0.$ При $косинус x = 0$ решений нет. При $косинус x не равно 0$ разделим обе части уравнения на $косинус x.$ Получаем $1 плюс тангенс x =0 равносильно тангенс x= минус 1.$

Тогда $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$

Отрезку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ принадлежат корни $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби$ и $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 507638: 507704 511456 Все

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Группировка, Разложение на множители, Формулы двойного угла

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Скрыть комментарии · Видеокурс · Помощь

Камила Ивебор 10.03.2016 18:05

Мы делим на cos x ≠ 0. Значит, x ≠ П/2+Пn , и корень П/2 + 2Пn мы не можем брать.

Александр Иванов

Камила, Ваши рассуждения ошибочны.

1. ОДЗ данного уравнения все действительные числа.

2. В решении рассмотрены два случая.

3. В первом случае мы ни на что не делили и получили ответ $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

4. Во втором случае мы делили на $косинус x$ , предварительно проверив, что в этом (втором) случае $косинус x=0$ не является решением. Если бы мы не сделали такой проверки, то при делении на $косинус x$ мы могли потерять корни.

Итог. Попробуйте подставить $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби$ в исходное уравнение и убедитесь, что это корень.

Никита Люфт 29.01.2017 15:10

Вместо "-pi/4+pi k" у меня получилось "3pi/4+pi k". Я ошибся, или это решение тоже правильное?

Александр Иванов

У Вас тоже верно