Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 507892

Красный карандаш стоит 17 рублей, синий — 13 рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 495 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на пять.

а) Можно ли купить при таких условиях 32 карандаша?

б) Можно ли купить при таких условиях 35 карандашей?

в) Какое наибольшее число карандашей можно купить при таких условиях?

Спрятать решение

Решение.

а) Например, можно купить 14 красных и 18 синих карандашей:

14 · 17 + 18 · 13 = 472 (руб.).

б) Дешевле всего 35 карандашей будут стоить, если купить наибольшее возможное число синих карандашей и наименьшее возможное число красных, то есть если купить 15 красных и 20 синих, поскольку если красных меньше 15, то синих больше 20, и в этом случае разность между числом красных и синих больше чем 5. Но тогда стоимость покупки

15 · 17 + 20 · 13 = 515 (руб.),

что больше, чем имеющаяся сумма 495 рублей.

в) Пусть n и m —число синих и красных карандашей соответственно. Тогда

 система выражений  новая строка 17m плюс 13n\leqslant 495,  новая строка |m минус n|\leqslant 5,  новая строка m,n = 0, 1, 2,... конец системы .

Положим s = n + m, тогда

 система выражений  новая строка 4m плюс 13s\leqslant 495,  новая строка минус 5\leqslant 2m минус s \leqslant 5,  новая строка m = 0, 1, ..., s, конец системы . равносильно система выражений  новая строка m\leqslant дробь: числитель: 495 минус 13s, знаменатель: 4 конец дроби ,  новая строка дробь: числитель: s минус 5, знаменатель: 2 конец дроби \leqslant m \leqslant дробь: числитель: s плюс 5, знаменатель: 2 конец дроби ,  новая строка m = 0, 1, ..., s, конец системы .

Следовательно,  дробь: числитель: s минус 5, знаменатель: 2 конец дроби \leqslant дробь: числитель: 495 минус 13s, знаменатель: 4 конец дроби , откуда s \leqslant 33 дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .

Можно купить не больше 33 карандашей. Осталось проверить, возможен ли случай, когда s = 33. При m = 14, n = 19 получаем

14 · 17 + 19 · 13 = 485 < 495.

Значит, наибольшее возможное число карандашей 33.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 33.

 

Приведем решение пункта в) Инны Никитиной.

Красный карандаш дороже синего, поэтому для того, чтобы купленное количество карандашей было максимальным, надо покупать синие карандаши. Но если куплено n синих карандашей, то необходимо купить хотя бы n − 5 красных. Тогда сумма покупки составит 13n + 17(n − 5). По условию

13n плюс 17(n минус 5) \leqslant 495 равносильно n \leqslant 19,3, следовательно, n = 19.

Стоимость 19 синих карандашей составит 13 · 19 = 247 рублей, и для покупки красных карандашей останется 495 − 247 = 248 рубля, этого хватит для покупки 14 красных карандашей. Следовательно, всего можно купить 19 + 14 = 33 карандаша.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 507892: 507991 515768 507915 Все