Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 508380

Решите неравенство: 3|x плюс 3| минус 3x меньше или равно 14 минус |2 минус x|.

Спрятать решение

Решение.

Воспользуемся тем, что для суммы  |a| плюс |b| возможны четыре случая раскрытия модулей, откуда заключаем:

 |a| плюс |b| меньше или равно c равносильно система выражений минус c меньше или равно a плюс b меньше или равно c, минус c меньше или равно a минус b меньше или равно c. конец системы .

Тогда имеем:

3|x плюс 3| плюс |2 минус x| меньше или равно 3x плюс 14 равносильно система выражений минус 3x минус 14 меньше или равно 3(x плюс 3) плюс (2 минус x) меньше или равно 3x плюс 14, минус 3x минус 14 меньше или равно 3(x плюс 3) минус (2 минус x) меньше или равно 3x плюс 14. конец системы равносильно

 

 равносильно система выражений минус 3x минус 14 меньше или равно 2x плюс 11 меньше или равно 3x плюс 14, минус 3x минус 14 меньше или равно 4x плюс 7 меньше или равно 3x плюс 14. конец системы равносильно система выражений x больше или равно минус 5,x больше или равно минус 3, x меньше или равно 7 конец системы равносильно минус 3 меньше или равно x меньше или равно 7.

 

Ответ: [ минус 3;7].

 

Приведем другое решение:

Как и в первом решении запишем неравенство в виде:

3|x плюс 3| плюс |x минус 2| меньше или равно 3x плюс 14.

Заметим, что левая часть представляет из себя кусочно-линейную функцию, которая возрастает при x больше или равно минус 3 и убывает при x меньше или равно минус 3. Это означает, что в точке –3 она достигает минимума равного 5. Таким образом, правая часть 3x плюс 14\geqslant5 равносильно x\geqslant минус 3. Тогда неравенство принимает вид:

3(x плюс 3) плюс |x минус 2| меньше или равно 3x плюс 14 равносильно |x минус 2| меньше или равно 5 равносильно минус 5 меньше или равно x минус 2 меньше или равно 5 равносильно минус 3 меньше или равно x меньше или равно 7.
Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 508380: 511522 Все

Классификатор алгебры: Неравенства с модулями
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов