ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 508380 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с модулями

Методы алгебры: Использование косвенных методов, Использование симметрий, оценок, монотонности

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства с модулем

Решите неравенство: $3|x плюс 3| минус 3x меньше или равно 14 минус |2 минус x|.$

Решение.

Запишем неравенство в виде:

$3|x плюс 3| плюс |x минус 2| меньше или равно 3x плюс 14.$

Заметим, что левая часть представляет из себя кусочно-⁠линейную функцию, которая возрастает при $x больше или равно минус 3$ и убывает при $x меньше или равно минус 3.$ Это означает, что в точке –3 она достигает минимума, равного 5. Таким образом, должно быть верно неравенство $3x плюс 14 больше или равно 5,$ откуда $x\geqslant минус 3.$ Для таких значений переменной получаем:

$3 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка плюс |x минус 2| меньше или равно 3x плюс 14 равносильно |x минус 2| меньше или равно 5 равносильно минус 5 меньше или равно x минус 2 меньше или равно 5 равносильно минус 3 меньше или равно x меньше или равно 7.$ $3 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка плюс |x минус 2| меньше или равно 3x плюс 14 равносильно |x минус 2| меньше или равно 5 равносильно$
$равносильно минус 5 меньше или равно x минус 2 меньше или равно 5 равносильно минус 3 меньше или равно x меньше или равно 7.$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 3;7 правая квадратная скобка .$

Приведем другое решение.

Воспользуемся тем, что для суммы $|a| плюс |b|$ возможны четыре случая раскрытия модулей, откуда заключаем:

$|a| плюс |b| меньше или равно c равносильно система выражений минус c меньше или равно a плюс b меньше или равно c, минус c меньше или равно a минус b меньше или равно c. конец системы .$

Тогда имеем:

$3|x плюс 3| плюс |2 минус x| меньше или равно 3x плюс 14 равносильно система выражений минус 3x минус 14 меньше или равно 3 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 3x плюс 14, минус 3x минус 14 меньше или равно 3 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 3x плюс 14. конец системы равносильно$ $3|x плюс 3| плюс |2 минус x| меньше или равно 3x плюс 14 равносильно$
$равносильно система выражений минус 3x минус 14 меньше или равно 3 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 3x плюс 14, минус 3x минус 14 меньше или равно 3 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 3x плюс 14. конец системы равносильно$

$равносильно система выражений минус 3x минус 14 меньше или равно 2x плюс 11 меньше или равно 3x плюс 14, минус 3x минус 14 меньше или равно 4x плюс 7 меньше или равно 3x плюс 14. конец системы равносильно система выражений x больше или равно минус 5,x больше или равно минус 3, x меньше или равно 7 конец системы равносильно минус 3 меньше или равно x меньше или равно 7.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая квадратная скобка минус 3;7 правая квадратная скобка .$

Аналоги к заданию № 508380: 511522 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 15 № 511522 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с модулями

Неравенства. Неравенства с модулем

Решите неравенство: $4|x плюс 1| минус 3x меньше или равно 10 минус |3 минус x|.$

Решение.

Имеем:

$4|x плюс 1| плюс |3 минус x| меньше или равно 3x плюс 10 равносильно система выражений минус 3x минус 10 меньше или равно 4 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка меньше или равно 3x плюс 10, минус 3x минус 10 меньше или равно 4 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка меньше или равно 3x плюс 10. конец системы равносильно$ $4|x плюс 1| плюс |3 минус x| меньше или равно 3x плюс 10 равносильно$
$равносильно система выражений минус 3x минус 10 меньше или равно 4 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка меньше или равно 3x плюс 10, минус 3x минус 10 меньше или равно 4 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка меньше или равно 3x плюс 10. конец системы равносильно$

$равносильно система выражений минус 3x минус 10 меньше или равно 3x плюс 7 меньше или равно 3x плюс 10, минус 3x минус 10 меньше или равно 5x плюс 1 меньше или равно 3x плюс 10. конец системы равносильно система выражений x больше или равно минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 6 конец дроби ,x больше или равно минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 8 конец дроби , x меньше или равно дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби конец системы равносильно минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 8 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 508380: 511522 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе