СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 508759

а) К любому ли шестизначному числу, начинающемуся с цифры 5, можно приписать справа ещё 6 цифр так, чтобы полученное число было квадратом натурального числа?

б) Тот же вопрос про число, начинающееся на 1.

в) Найдите для каждого натурального n такое наименьшее число k, что к любому n-значному числу можно так приписать справа k цифр, чтобы полученное (n + k)-значное число было квадратом натурального числа.

Решение.

а) Возьмем любое натуральное число , оканчивающееся нулями, квадрат которого является 12-значным числом, начинающимся с 5, например Тогда Предыдущий квадрат будет равен Значит, натурального числа, квадрат которого имеет 12 знаков и начинается с цифр 562499, не существует.

 

б) Пусть - 12-значное число, начинающееся с единицы, то есть Тогда Отсюда и Значит, разница между соседними квадратами меньше миллиона и в последовательности квадратов, лежащих между и , встретятся числа, начинающиеся с любого набора из шести цифр.

 

в) Докажем, что Ясно, что к любым цифрам можно подписать еще цифру так, чтобы полученное число было полным квадратом: ведь на промежутке разница между соседними квадратами не превосходит

Докажем, что цифрами обойтись не удастся. Рассмотрим квадрат, предшествующий , он равен ( девятка и ноль). Таким образом, к числу 999..999 ( девяток) нельзя приписать цифр так, чтобы получить точный квадрат. Ясно, что к нему нельзя приписать , , ... цифры: соответствующее число слишком близко к , , ...Рассмотрим еще квадрат, предшествующий , он равен ( девятки и ноля). Таким образом, к числу 3999...997 (всего цифр) нельзя приписать (а также , , ...) цифр, чтобы получился точный квадрат. В итоге получается, что

 

Ответ: а) нет; б) да; в)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 89.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства