СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 508951

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4. Точка N — середина СВ, а точка M лежит на ребре AA1, причем AM : MA1 = 3 : 1. Определите расстояние между прямыми MN и BC1.

Решение.

Поместим заданный куб в декартову систему координат, как показано на рисунке.

Найдем координаты нужных точек: M (4; 0; 3), N (2; 4; 0), B (4; 4; 0), C (0; 4; 4).

Запишем координаты векторов и

Найдем координаты вектора перпендикулярного как к вектору так и к вектору Пусть его координаты будут равны x, y, z. Поскольку скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю, то:

Итак, Заменим этот вектор ему коллинеарным деля полученные координаты на z.

Составим уравнение плоскости, перпендикулярной вектору и проходящей через точку N. Искомое уравнение будет иметь вид: где a, b, c — соответствующие координаты вектора x0, y0, z0 — координаты любой точки прямой BC1. Пусть такой точкой будет В. Тогда:

Расстояние между скрещивающимися прямыми MN и BC1 найдем как расстояние между любой точкой прямой MN до найденной плоскости. В качестве такой точки выберем N.

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 110.