Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 508953

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AM и CN.

А) Докажите, что углы ACB и MNB равны.

Б) Вычислите длину стороны АС, если известно, что периметр треугольника ABC равен 25 см, периметр треугольника BMN равен 15 см, а радиус окружности, описанной около треугольника BMN равен 3 см.

Решение.

А) Рассмотрим прямоугольные треугольники AMB и CNB, у которых В — общий острый угол.

В ΔAMB:  косинус B= дробь, числитель — BM, знаменатель — AB . В ΔCNB:  косинус B= дробь, числитель — BN, знаменатель — BC . Откуда:  дробь, числитель — BM, знаменатель — AB = дробь, числитель — BN, знаменатель — BC .

Итак, в треугольниках MNB и ACB:  дробь, числитель — BM, знаменатель — AB = дробь, числитель — BN, знаменатель — BC , угол В, заключенный между пропорциональными сторонами, общий. Это значит, что ΔMNB ~ ΔACB, откуда ∠ACB = ∠MNB, что и требовалось доказать.

Б) Известно, что у подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны. Следовательно,

k= дробь, числитель — BM, знаменатель — AB = дробь, числитель — 15, знаменатель — 25 = дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 = дробь, числитель — P(BMN), знаменатель — P(ABC) = косинус B,

где k — коэффициент подобия названных треугольников.

Если  косинус B= дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 , то непременно  синус B= дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 . По следствию из теоремы синусов:  дробь, числитель — MN, знаменатель — синус B =2R.

MN=6 умножить на дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 = дробь, числитель — 24, знаменатель — 5 (см).AC= дробь, числитель — 1, знаменатель — k MN= дробь, числитель — 5, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — 24, знаменатель — 5 =8(см).

 

Ответ: Б) 8 см.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 110.
Методы геометрии: Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники