ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 509403 Добавить в вариант

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка в квадрате 2 минус \log _2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус \log _3x минус 14 плюс 2 меньше или равно 0.$

Спрятать решение

Решение.

Данное неравенство равносильно неравенству

$левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка \log _2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка плюс 2 меньше или равно 0.$ $левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка минус$
$минус 2 левая круглая скобка \log _2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка плюс 2 меньше или равно 0.$

Пусть $\log _2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби =t,$ тогда $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби плюс 2=t в квадрате$ и, следовательно,

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби =t в квадрате минус 2.$

Далее имеем: $t в квадрате минус 2t меньше или равно 0 равносильно 0 меньше или равно t меньше или равно 2,$ откуда

$0 меньше или равно \log _2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 2 равносильно$

$равносильно \log _2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби = 2 равносильно \log _2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка =1 равносильно 3x минус 1=2 равносильно x=1.$ $равносильно \log _2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби = 2 равносильно$
$равносильно \log _2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка =1 равносильно 3x минус 1=2 равносильно x=1.$

Ответ: {1}.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 508392: 509403 511586 Все

Источник: Пробный ЕГЭ по математике Санкт-Петербург 2015. Вариант 2.

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции, Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Скрыть комментарии · Видеокурс · Помощь

Игорь Николаев 30.04.2016 23:03

Почему последний логарифм именно равен 2

Александр Иванов

по свойству двух взаимно обратных чисел