Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 509403

Решите неравенство  логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка в квадрате 2 минус \log _2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус \log _3x минус 14 плюс 2 меньше или равно 0.

Спрятать решение

Решение.

Данное неравенство равносильно неравенству

 левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка \log _2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка плюс 2 меньше или равно 0.

Пусть \log _2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби =t, тогда  логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби плюс 2=t в квадрате и, следовательно,

 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби =t в квадрате минус 2.

Далее имеем: t в квадрате минус 2t меньше или равно 0 равносильно 0 меньше или равно t меньше или равно 2, откуда

0 меньше или равно \log _2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 2 равносильно

 равносильно \log _2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби = 2 равносильно \log _2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка =1 равносильно 3x минус 1=2 равносильно x=1.

 

Ответ: {1}.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 508255: 509403 511586 Все

Источник: Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2015. Вариант 2.
Методы алгебры: Введение замены
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов
Спрятать решение · Прототип задания · · Видеокурс ЕГЭ 2023 · Курс Д. Д. Гущина ·
Игорь Николаев 30.04.2016 23:03

Почему последний логарифм именно равен 2

Александр Иванов

по свойству двух взаимно обратных чисел