Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 509823

Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.

а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.

б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 18 и BN = 17.

Спрятать решение

Решение.

а) Проведём медиану AE к основанию BC, поскольку треугольник ABC — равнобедренный, медиана AE является биссектрисой и высотой. Проведём MK, заметим, что ∠BKM = 90°, так как он вписанный и опирается на диаметр окружности. Поэтому MK перпендикуляр к ВС. Тогда MK — средняя линия AEС, и тогда КС = . Поскольку CE = 2CK, имеем: BK = 3CK, что и требовалось доказать.

б) Заметим, что ∠BKM = ∠BNM = 90°, так как эти углы вписанные и опираются на диаметр. Тогда

BM в степени 2 =BN в степени 2 плюс NM в степени 2 =BK в степени 2 плюс MK в степени 2 (*),
причём:

NM в степени 2 =AM в степени 2 минус AN в степени 2 ,MK в степени 2 =MC в степени 2 минус CK в степени 2 ,

CK= дробь: числитель: BK, знаменатель: 3 конец дроби =6,BN=17, AM = MC.

Подставляя полученные соотношения в (*), получаем:

17 в степени 2 плюс AM в степени 2 минус AN в степени 2 =18 в степени 2 плюс MC в степени 2 минус 6 в степени 2 равносильно AN в степени 2 =289 плюс 36 минус 324 равносильно AN=1.

Тогда AB=BN плюс AN=17 плюс 1=18.

 

Ответ: б) 18.

 

Приведём другое решение пункта б).

Пусть AB=AC=x, x больше 17. Тогда AM=MC= дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби , AN=x минус 17, и пусть PM = y, тогда AP= дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус y. По свойству секущих имеем:

 система выражений (x минус 17)x= левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус y правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс y правая круглая скобка =6 умножить на 24 конец системы . равносильно система выражений 2y=68 минус 3x,x(x плюс 2y)=24 в степени 2 конец системы . \Rightarrow x в степени 2 минус 34x плюс 288=0 равносильно совокупность выражений x=16,x=18 конец совокупности . \undersetx больше 17\mathop равносильно x=18.

 

Приведём третье решение пункта б).

Пусть угол при вершине A треугольника ABC равен 2α, AB = x. Тогда из прямоугольного треугольника ANM находим:  косинус 2 альфа = дробь: числитель: x минус 17, знаменатель: дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 2(x минус 17), знаменатель: x конец дроби . Из треугольника MKC: синус альфа = дробь: числитель: 6, знаменатель: дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: x конец дроби ,  косинус 2 альфа =1 минус 2 синус в степени 2 альфа , таким образом, получаем уравнение:

 дробь: числитель: 2(x минус 17), знаменатель: x конец дроби =1 минус 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 12, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка в степени 2 равносильно x в степени 2 минус 34x плюс 288=0.

Из последнего уравнения получаем те же ответы, что и в предыдущем решении x = 16 (постороннее решение) или x = 18.

 

 

Приведём еще одно решение пункта б).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ANM. Если AB = x, то  косинус A= дробь: числитель: x минус 17, знаменатель: дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби . С другой стороны из треугольника ABC по теореме косинусов имеем  косинус A= дробь: числитель: x в степени 2 плюс x в степени 2 минус 24 в степени 2 , знаменатель: 2x в степени 2 конец дроби . Составим уравнение:

 дробь: числитель: x минус 17, знаменатель: дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 2x в степени 2 минус 24 в степени 2 , знаменатель: 2x в степени 2 конец дроби равносильно 2(x минус 17) = дробь: числитель: x в степени 2 минус 288, знаменатель: x конец дроби равносильно x в степени 2 минус 34x плюс 288=0.

Последнее уравнение уже дважды решено выше.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 509823: 511600 Все

Раздел: Алгебра
Источник: ЕГЭ по математике 2015. Досрочная волна, резервная волна (часть С)
Методы геометрии: Теорема косинусов