Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.
а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.
б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 18 и BN = 17.
а) Проведём медиану AE к основанию BC, поскольку треугольник ABC — равнобедренный, медиана AE является биссектрисой и высотой. Проведём MK, заметим, что ∠BKM = 90°, так как он вписанный и опирается на диаметр окружности. Поэтому MK перпендикуляр к ВС. Тогда MK — средняя линия AEС, и тогда КС = EК. Поскольку CE = 2CK, имеем: BK = 3CK, что и требовалось доказать.
б) Заметим, что ∠BKM = ∠BNM = 90°, так как эти углы вписанные и опираются на диаметр. Тогда
(*),
Подставляя полученные соотношения в (*), получаем:
Тогда 
Ответ: б) 18.
Приведём другое решение пункта б).
Пусть 
Тогда 
и пусть 
тогда 
По свойству секущих имеем:
Приведём третье решение пункта б).
Пусть угол при вершине A треугольника ABC равен 2α, AB = x. Тогда из прямоугольного треугольника ANM находим: 
Из треугольника MKC:
таким образом, получаем уравнение:
Из последнего уравнения получаем те же ответы, что и в предыдущем решении x = 16 (постороннее решение) или x = 18.
Приведём еще одно решение пункта б).
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
Если AB = x, то 
С другой стороны из треугольника ABC по теореме косинусов имеем 
Составим уравнение:
Последнее уравнение уже дважды решено выше.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |