Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 511600

Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.

а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.

б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 24 и BN = 23.

Спрятать решение

Решение.

а) Проведём медиану AE к основанию BC, поскольку треугольник ABC — равнобедренный, медиана AE является биссектрисой и высотой. Проведём MK, заметим, что ∠BKM = 90°, так как он вписанный и опирается на диаметр окружности. Поэтому MK перпендикуляр к ВС. Тогда MK — средняя линия AEС, и тогда КС = . Поскольку CE = 2CK, имеем: BK = 3CK, что и требовалось доказать.

б) Заметим, что ∠BKM = ∠BNM = 90°, так как эти углы вписанные и опираются на диаметр. Тогда

BM в квадрате =BN в квадрате плюс NM в квадрате =BK в квадрате плюс MK в квадрате (*),
причём:

NM в квадрате =AM в квадрате минус AN в квадрате ,MK в квадрате =MC в квадрате минус CK в квадрате ,

CK= дробь: числитель: BK, знаменатель: 3 конец дроби =8,BN=23, AM = MC.

Подставляя полученные соотношения в (*), получаем:

23 в квадрате плюс AM в квадрате минус AN в квадрате =24 в квадрате плюс MC в квадрате минус 8 в квадрате равносильно AN в квадрате =529 плюс 64 минус 576 равносильно AN= корень из (17) .

Тогда AB=BN плюс AN=23 плюс корень из (17) =23 плюс корень из (17) .

 

Ответ: б)  23 плюс корень из (17) .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 509823: 511600 Все

Раздел: Алгебра
Методы геометрии: Теорема косинусов