Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 510691

Найдите все значение a, для каждого из которых уравнение  логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка a минус x плюс 2 правая круглая скобка =2 имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [−1; 1).

Спрятать решение

Решение.

Уравнение  логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка a минус x плюс 2 правая круглая скобка = 2 равносильно системе

 система выражений  новая строка x в квадрате минус x минус 1 минус a=0, новая строка x меньше 1, новая строка x не равно 0. конец системы .

Эта система имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку  левая квадратная скобка минус 1, 1 правая круглая скобка , если уравнение x в квадрате минус x минус 1 минус a=0 имеет хотя бы один корень, принадлежащий либо промежутку  левая квадратная скобка минус 1, 0 правая круглая скобка , либо промежутку  левая круглая скобка 0, 1 правая круглая скобка .

Поскольку графиком функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в квадрате минус x минус 1 минус a=0 является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , уравнение f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0 имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку  левая круглая скобка 0, 1 правая круглая скобка , при условии

 система выражений  новая строка f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 0, новая строка f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно система выражений  новая строка минус целая часть: 1, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 4 минус a меньше или равно 0, новая строка минус 1 минус a больше 0, конец системы .

откуда  минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно a меньше минус 1 (рис. 1).

Уравнение f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0 имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку  левая квадратная скобка минус 1, 0 правая круглая скобка , при условии

 система выражений  новая строка f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка меньше 0, новая строка f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений  новая строка минус 1 минус a меньше 0, новая строка 1 минус a больше или равно 0, конец системы .

откуда  минус 1 меньше a меньше или равно 1 (рис. 2).

Уравнение  логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка a минус x плюс 2 правая круглая скобка = 2 имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку  левая квадратная скобка минус 1, 0 правая круглая скобка , при  минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно a меньше минус 1 и при  минус 1 меньше a меньше или равно 1.

 

Ответ: a принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби , минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1,1 правая квадратная скобка .

 

Приведём другое решение.

Выразим параметр a как функцию переменной x, и построим график полученной зависимости:

 логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка a минус x плюс 2 правая круглая скобка =2 равносильно система выражений 1 минус x больше 0, 1 минус x не равно 1, a минус x плюс 2= левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате . конец системы . равносильно система выражений x меньше 1, x не равно 0, x в квадрате минус x минус 1=a. конец системы .

Тем самым, уравнение имеет решения на [−1;1) при  минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно a меньше минус 1 и при  минус 1 меньше a меньше или равно 1.

 

----------

Дублирует задание 505039.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С5Баллы
Обоснованно получен верный ответ.4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Запад. Вариант 1., Задания 18 (С6) ЕГЭ 2013
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром