Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 510697

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

 левая круглая скобка 4 косинус x минус 3 минус a правая круглая скобка умножить на косинус x минус 2,5 косинус 2x плюс 1,5 = 0

имеет хотя бы один корень.

Спрятать решение

Решение.

Запишем исходное уравнение в виде  косинус в квадрате x плюс левая круглая скобка 3 плюс a правая круглая скобка косинус x минус 4=0.

Пусть t = cosx, тогда исходное уравнение имеет хотя бы один корень, если уравнение t в квадрате плюс левая круглая скобка 3 плюс a правая круглая скобка t минус 4=0 имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1]. Графиком функции f левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в квадрате плюс левая круглая скобка 3 плюс a правая круглая скобка t минус 4 является парабола, ветви которой направлены вверх, f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка = минус 4 меньше 0,

следовательно, уравнение f левая круглая скобка t правая круглая скобка =0 имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1], либо при условии f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0 (рис. 1) 1 минус левая круглая скобка 3 плюс a правая круглая скобка минус 4 больше или равно 0, откуда a меньше или равно минус 6, либо при условии f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка больше или равно 0 (рис. 2) 1 плюс левая круглая скобка 3 плюс a правая круглая скобка минус 4 больше или равно 0, откуда a больше или равно 0.

 

Ответ:  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 6 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Восток. Вариант 1., Задания 18 (С6) ЕГЭ 2013
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром