Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 510704

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение ax плюс корень из 3 минус 2x минус x в квадрате =4a плюс 2 имеет единственный корень.

Спрятать решение

Решение.

Запишем уравнение в виде  корень из 3 минус 2x минус x в квадрате = минус ax плюс 4a плюс 2. Рассмотрим две функции: f левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из 3 минус 2x минус x в квадрате и g левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус ax плюс 4a плюс 2. Графиком функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из 2 в квадрате минус левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате является полуокружность радиуса 2 с центром в точке  левая круглая скобка минус 1; 0 правая круглая скобка , лежащая в верхней полуплоскости (см. рис.). При каждом значении a графиком функции g левая круглая скобка x правая круглая скобка является прямая с угловым коэффициентом  минус a, проходящая через точку  M левая круглая скобка 4; 2 правая круглая скобка .

Уравнение имеет единственный корень, если графики функций f левая круглая скобка x правая круглая скобка и g левая круглая скобка x правая круглая скобка имеют единственную общую точку: либо прямая касается полуокружности, либо пересекает её в единственной точке.

Касательная  MC , проведённая из точки M к полуокружности, имеет угловой коэффициент, равный нулю, то есть при a=0 исходное уравнение имеет единственный корень. При  минус a меньше 0 прямая не имеет общих точек с полуокружностью.

Прямая MA, заданная уравнением y= минус ax плюс 4a плюс 2, проходит через точки  M левая круглая скобка 4; 2 правая круглая скобка и A левая круглая скобка минус 3; 0 правая круглая скобка , следовательно, её угловой коэффициент  минус a= дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби .

При 0 меньше минус a меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби прямая, заданная уравнением y= минус ax плюс 4a плюс 2, имеет две общие точки с полуокружностью. Прямая MB, заданная уравнением y= минус ax плюс 4a плюс 2, заданная уравнением M левая круглая скобка 4; 2 правая круглая скобка и B левая круглая скобка 1; 0 правая круглая скобка , следовательно, её угловой коэффициент  минус a= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби . При  дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби меньше минус a меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби прямая, заданная уравнением y= минус ax плюс 4a плюс 2, имеет угловой коэффициент больше, чем у прямой MA, и не больше, чем у прямой MB, и пересекает полуокружность в единственной точке. Получаем, что при  минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно a меньше минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби исходное уравнение имеет единственный корень. При  минус a больше дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби прямая не имеет общих точек с полуокружностью.

Ответ:  совокупность выражений минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби конец совокупности правая круглая скобка ;0.

 

----------

Дублирует задание 501693.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С5 Баллы
Обоснованно получен верный ответ. 4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек 3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a 2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл 4
Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Центр. Вариант 101., Задания 18 (С6) ЕГЭ 2013
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром