Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 510729

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

x в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка в квадрате = |x плюс 3 минус a| плюс |x плюс a минус 3|

имеет единственный корень.

Спрятать решение

Решение.

Если x0 является корнем исходного уравнения, то и  минус x_0 является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень, только если x_0 = минус x_0, то есть x0 = 0. Подставим значение x = 0 в исходное уравнение:

 левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка в квадрате = |3 минус a| плюс |a минус 3| равносильно |a минус 3| умножить на левая круглая скобка |a минус 3| минус 2 правая круглая скобка =0,

откуда либо |a минус 3| = 0 равносильно a = 3, либо |a минус 3| = 2 равносильно a = 1, или a = 5.

При a = 3 исходное уравнение принимает вид: x2 = 2|x|. Корнями этого уравнения являются числа −2; 0 и 2, то есть исходное уравнение имеет более одного корня.

При a = 1 и при a = 5 уравнение принимает вид: x в квадрате плюс 4 = |x минус 2| плюс |x плюс 2|.

При x < − 2 это уравнение сводится к уравнению x2 + 2x + 4 = 0, которое не имеет корней.

При −2 ≤ x ≤ 2 получаем уравнение x2 = 0, которое имеет единственный корень.

При x > 2 получаем уравнение x в квадрате минус 2x плюс 4 = 0, которое не имеет корней. При a = 1 и при a = 5 исходное уравнение имеет единственный корень.

 

Ответ: 1; 5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ4
Обоснованно получены оба значения а, в ответ включено не более одного постороннего значения а.3
Обоснованно получено одно из значений а.2
Получен один из следующих результатов:

- задача верно сведена к исследованию квадратных уравнений, полученных после раскрытия модулей;

- есть утверждение о симметрии корней исходного уравнения.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Сибирь. Вариант 302., Задания 18 (С6) ЕГЭ 2013
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром