Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 510759

Найдите все значения a, при которых уравнение | косинус в квадрате x плюс 2 синус x минус 2a|= косинус в квадрате x плюс синус x плюс 2a имеет на промежутке  совокупность выражений минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,0 конец совокупности правая круглая скобка единственный корень.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим два случая. Первый случай:  косинус в квадрате x плюс 2 синус x минус 2a больше или равно 0 . Исходное уравнение примет вид

 косинус в квадрате x плюс 2 синус x минус 2a = косинус в квадрате x плюс синус x плюс 2a равносильно синус x =4a.

Последнее уравнение имеет на промежутке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,0 правая круглая скобка единственный корень при  минус 1 меньше или равно 4a меньше 0, откуда  минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно a меньше 0. Подставив  синус x = 4a в неравенство  косинус в квадрате x плюс 2 синус x минус 2a больше или равно 0, получим: 1 минус 16a в квадрате плюс 8a минус 2a больше или равно 0, откуда  минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби меньше или равно a меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

В этом случае уравнение  синус x = 4a при условии  косинус в квадрате x плюс 2 синус x минус 2a больше или равно 0 имеет на промежутке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,0 правая круглая скобка единственный корень x= арксинус левая круглая скобка 4a правая круглая скобка при  минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби меньше или равно a меньше 0 и не имеет на промежутке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , 0 правая круглая скобка корней при a меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби и при a больше или равно 0.

Второй случай:  косинус в квадрате x плюс 2 синус x минус 2a меньше 0. Исходное уравнение примет вид

 косинус в квадрате x плюс 2 синус x минус 2a = минус косинус в квадрате x минус синус x минус 2a равносильно 2 косинус в квадрате x плюс 3 синус x =0 равносильно

 равносильно левая круглая скобка 2 синус x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка синус x минус 2 правая круглая скобка = 0 равносильно синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Последнее уравнение имеет на промежутке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,0 правая круглая скобка единственный корень x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби . Подставив x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби в неравенство  косинус в квадрате x плюс 2 синус x минус 2a меньше 0, получим:  дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби минус 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус 2a меньше 0, откуда a больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби .

В этом случае уравнение 2 косинус в квадрате x плюс 3 синус x = 0 при условии  косинус в квадрате x плюс 2 синус x минус 2a меньше 0 имеет на промежутке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,0 правая круглая скобка единственный корень x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби при a больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби и не имеет на промежутке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , 0 правая круглая скобка корней при a меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби .

Уравнение | косинус в квадрате x плюс 2 синус x минус 2a|= косинус в квадрате x плюс синус x плюс 2a на промежутке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,0 правая круглая скобка :

 • при a меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби не имеет корней;

 • при a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби имеет единственный корень x= арксинус левая круглая скобка 4a правая круглая скобка = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;

 • при  минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби меньше a меньше 0 имеет два различных корня x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби и x= арксинус левая круглая скобка 4a правая круглая скобка ;

 • при a больше или равно 0 имеет единственный корень x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

 

Ответ: a принадлежит левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 0, плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С5 Баллы
Обоснованно получен верный ответ. 4
Обоснованно получены оба значения: a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби , a=0. Ответ отличается от верного исключением точки a = 0 3
Обоснованно получены оба значения: a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби , a=0. 2
Верно найдено одно или два из значений a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби или a=0. 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл 4
Источник: ЕГЭ по математике 19.06.2013. Основная волна, резервная волна. Центр. Вариант 501, Задания 18 (С6) ЕГЭ 2013
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром