Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 510766

Найдите все значения a, при которых уравнение |2 синус в квадрате x плюс 8 косинус x минус 3a|=2 синус в квадрате x плюс 7 косинус x плюс 3a имеет на промежутке  левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , Пи правая круглая скобка единственный корень.

Спрятать решение

Решение.

Первый случай: 2 синус в квадрате x плюс 8 косинус x минус 3a\geqslant0. Тогда

2 синус в квадрате x плюс 8 косинус x минус 3a=2 синус в квадрате x плюс 7 косинус x плюс 3a равносильно  косинус x=6a.

Последнее уравнение имеет на промежутке  левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , Пи правая круглая скобка единственный корень при  минус 1 меньше 6a\leqslant0, откуда  минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби меньше a\leqslant0.

Подставив  косинус x =6a в неравенство 2 синус в квадрате x плюс 8 косинус x минус 3a\geqslant0, получим:

 2 минус 72a в квадрате плюс 48a минус 3a\geqslant0 равносильно 72a в квадрате минус 45a минус 2 меньше или равно 0 равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 24 конец дроби меньше или равно a меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .

В этом случае уравнение  косинус x =6a при условии 2 синус в квадрате x плюс 8 косинус x минус 3a\geqslant0 имеет на промежутке  левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , Пи правая круглая скобка единственный корень x= арккосинус левая круглая скобка 6a правая круглая скобка при  минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 24 конец дроби меньше или равно a меньше или равно 0 и не имеет на промежутке  левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , Пи правая круглая скобка корней при  a меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 24 конец дроби и при a больше 0.

Второй случай: 2 синус в квадрате x плюс 8 косинус x минус 3a меньше 0. Тогда из исходного уравнения получаем:

2 синус в квадрате x плюс 8 косинус x минус 3a= минус 2 синус в квадрате x минус 7 косинус x минус 3a равносильно 4 синус в квадрате плюс 15 косинус x =0 равносильно левая круглая скобка 4 косинус x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x минус 4 правая круглая скобка =0 равносильно  косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .

Последнее уравнение имеет на промежутке  левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , Пи правая круглая скобка единственный корень x= арккосинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка . Подставив  x= арккосинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в неравенство 2 синус в квадрате x плюс 8 косинус x минус 3a меньше 0, получим:  2 умножить на дробь: числитель: 15, знаменатель: 16 конец дроби минус 8 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби минус 3a меньше 0, откуда a больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 24 конец дроби .

В этом случае уравнение  4 синус в квадрате плюс 15 косинус x =0 при условии 2 синус в квадрате x плюс 8 косинус x минус 3a\geqslant0 имеет на промежутке  левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , Пи правая круглая скобка единственный корень x= арккосинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка при a больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 24 конец дроби } и не имеет на промежутке  левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , Пи правая круглая скобка корней при  a меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 24 конец дроби .

 

Ответ:  a = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 24 конец дроби ,  a больше 0

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С5 Баллы
Обоснованно получен верный ответ. 4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек 3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a 2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл 4
Источник: ЕГЭ по математике 19.06.2013. Основная волна, резервная волна. Центр. Вариант 502, Задания 18 (С6) ЕГЭ 2013
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром