Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 510772

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение a в квадрате минус 7a плюс 7 корень из 2x в квадрате плюс 49=3|x минус 7a| минус 6|x| имеет хотя бы один корень.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим две функции: f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в квадрате минус 7a плюс 7 корень из 2x в квадрате плюс 49 и g левая круглая скобка x правая круглая скобка =3\left|x минус 7a| минус 6\left|x|. Поскольку x в квадрате \geqslant0, получаем: f левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =a в квадрате минус 7a плюс 49.

Функция g левая круглая скобка x правая круглая скобка =3\left|x минус 7a| минус 6\left|x| является кусочно-линейной, причём при x меньше 0 угловой коэффициент равен либо 3, либо 9, а при x больше 0 угловой коэффициент равен либо –3, либо –9. Значит, функция g левая круглая скобка x правая круглая скобка возрастает при x меньше 0 и убывает при x больше 0, поэтому g левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно g левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =21\left|a|.

Исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка меньше или равно g левая круглая скобка 0 правая круглая скобка :

a в квадрате минус 7a плюс 49 меньше или равно 21|a| равносильно a в квадрате минус 7a минус 21|a| плюс 49 меньше или равно 0.

Значит, либо

 система выражений a в квадрате минус 28a плюс 49 меньше или равно 0,a\geqslant0, конец системы откуда 14 минус 7 корень из 3 меньше или равно a меньше или равно 14 плюс 7 корень из 3,

либо

 система выражений a в квадрате плюс 14a плюс 49 меньше или равно 0,a меньше 0, конец системы откуда a= минус 7.

Исходное уравнение имеет хотя бы один корень при a= минус 7 и при 14 минус 7 корень из 3 меньше или равно a меньше или равно 14 плюс 7 корень из 3 и не имеет корней при других значениях a.

 

Ответ: a принадлежит левая фигурная скобка минус 7 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 14 минус 7 корень из 3, 14 плюс 7 корень из 3 правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С5 Баллы
Обоснованно получен верный ответ. 4
Обоснованно получены все значения: a= минус 7, a=14 минус 7 корень из 3, a=14 плюс 7 корень из 3. Ответ отличается от верного исключением точек a=14 минус 7 корень из 3 и/или a=14 плюс 7 корень из 3 3
Обоснованно получено одно или два из значений a= минус 7, a=14 минус 7 корень из 3 или a=14 плюс 7 корень из 3. 2
Задача верно сведена

— к исследованию графиков функций, заданных выражениями, стоящими в левой и правой частях уравнения;

— к оценке наименьшего (наибольшего) значения выражения, стоящего в левой (правой) части уравнения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл 4
Источник: ЕГЭ по математике 10.06.2013. Вторая волна. Центр. Вариант 601., Задания 18 (С6) ЕГЭ 2013
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром