Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 510778

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение a в квадрате минус 10a плюс 5 корень из x в квадрате плюс 25=4|x минус 5a| минус 8|x| имеет хотя бы один корень.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим две функции: f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в квадрате минус 10a плюс 5 корень из x в квадрате плюс 25 и g левая круглая скобка x правая круглая скобка =4|x минус 5a| минус 8|x|.

Поскольку x в квадрате больше или равно 0, получаем : f левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =a в квадрате минус 10a плюс 25.

Функция  g левая круглая скобка x правая круглая скобка =4|x минус 5a| минус 8|x| является кусочно-линейной функцией, причем при x меньше 0 угловой коэффициент равен либо 4, либо 12, а при x больше 0 угловой коэффициент равен либо  минус 4, либо  минус 12. Значит, функция g левая круглая скобка x правая круглая скобка возрастает при x меньше 0 и убывает при x больше 0, поэтому g левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно g левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =20|a|.

Исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка меньше или равно g левая круглая скобка 0 правая круглая скобка :

a в квадрате минус 10a плюс 25 меньше или равно 20|a| равносильно a в квадрате минус 10a минус 20|a| плюс 25 меньше или равно 0.

Значит, либо  система выражений a в квадрате минус 30a плюс 25 меньше или равно 0,a больше или равно 0, конец системы равносильно 15 минус 10 корень из 2 меньше или равно a меньше или равно 15 плюс 10 корень из 2, либо  система выражений a в квадрате плюс 10a плюс 25\leqslant0,a меньше 0, конец системы равносильно a= минус 5.

Исходное уравнение имеет хотя бы один корень при  a= минус 5 и при 15 минус 10 корень из 2 меньше или равно a меньше или равно 15 плюс 10 корень из 2 и не имеет корней при других значениях a.

Ответ:  левая фигурная скобка минус 5 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 15 минус 10 корень из 2,15 плюс 10 корень из 2 правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С5 Баллы
Обоснованно получен верный ответ. 4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек 3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a 2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл 4
Источник: ЕГЭ по математике 10.06.2013. Вторая волна. Центр. Вариант 602., Задания 18 (С6) ЕГЭ 2013
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром