Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 510784

Найдите все значения a, при которых уравнение  логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс x минус 6 правая круглая скобка =2 имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку (−1; 1].

Спрятать решение

Решение.

Уравнение  логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс x минус 6 правая круглая скобка =2 равносильно системе

 система выражений a плюс x минус 6= левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате , x плюс 1 больше 0, x плюс 1 не равно 1 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате плюс x плюс 7 минус a=0,x больше минус 1, x не равно 0. конец системы

Эта система имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку  левая круглая скобка минус 1,1 правая квадратная скобка , если уравнение  логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс x минус 6 правая круглая скобка =2 имеет хотя бы один корень, принадлежащий либо промежутку  левая круглая скобка минус 1, 0 правая круглая скобка , либо промежутку  левая круглая скобка 0, 1 правая квадратная скобка .

Поскольку графиком функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в квадрате плюс x плюс 7 минус a является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , уравнение f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0 имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку  левая круглая скобка минус 1, 0 правая круглая скобка , при условии

 система выражений f левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 0,f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка больше 0 конец системы равносильно система выражений целая часть: 6, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 4 минус a меньше или равно 0,7 минус a больше 0 конец системы равносильно дробь: числитель: 27, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно a меньше 7, (рис. 1).

Уравнение f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0 имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку  левая круглая скобка 0,1 правая квадратная скобка , при условии

 

 система выражений f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка меньше 0,f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы равносильно система выражений 7 минус a меньше 0,9 минус a больше или равно 0 конец системы равносильно 7 меньше a меньше или равно 9 (рис. 2).

Уравнение  логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс x минус 6 правая круглая скобка =2 имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку  левая круглая скобка минус 1,1 правая квадратная скобка , при  дробь: числитель: 27, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно a меньше 7 и при 7 меньше a меньше или равно 9.

 

Ответ:  левая квадратная скобка дробь: числитель: 27, знаменатель: 4 конец дроби , 7 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 7,9 правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С5 Баллы
Обоснованно получен верный ответ. 4
Обоснованно получены все значения:  дробь: числитель: 27, знаменатель: 4 конец дроби , a=7, a=9. Ответ отличается от верного только исключением точек  дробь: числитель: 27, знаменатель: 4 конец дроби и/или a=9. 3
Обоснованно получены все значения:  дробь: числитель: 27, знаменатель: 4 конец дроби , a=7, a=9. 2
Верно найдено одно или два из значений  дробь: числитель: 27, знаменатель: 4 конец дроби , a=7, a=9. 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл 4
Источник: ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Вариант 901., Задания 18 (С6) ЕГЭ 2013
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром