Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 510790

Найдите все значения a, при которых уравнение  логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 минус a правая круглая скобка =2 имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку  левая круглая скобка минус 1;2 правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

Уравнение  логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 минус a правая круглая скобка =2 равносильно системе

 система выражений x в квадрате плюс x минус 4 плюс a=0,x больше минус 1,x не равно 0. конец системы \left

Эта система имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку  левая круглая скобка минус 1;2 правая квадратная скобка , если уравнение  x в квадрате плюс x минус 4 плюс a=0 имеет хотя бы один корень, принадлежащий либо промежутку  левая круглая скобка минус 1; 0 правая круглая скобка , либо промежутку  левая круглая скобка 0; 2 правая квадратная скобка .

Поскольку графиком функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в квадрате плюс x минус 4 плюс a является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , уравнение f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0 имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку  левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка , когда значение в вершине отрицательно, а в точках –1 и 0 — положительно (см. рис. 1), то есть

 система выражений f левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \leqslant0,f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно система выражений минус целая часть: 4, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 4 плюс a\leqslant0, минус 4 плюс a больше 0 конец системы равносильно 4 меньше a меньше или равно дробь: числитель: 17, знаменатель: 4 конец дроби .

 

Уравнение f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0 имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку  левая круглая скобка 0;2 правая квадратная скобка , когда значение в 0 отрицательно, а в 2 — положительно (см. рис. 2), то есть

 система выражений f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка меньше 0, f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка \geqslant0 конец системы . равносильно система выражений минус 4 плюс a меньше 0, 2 плюс a больше или равно 0 конец системы . равносильно минус 2 меньше или равно a меньше 4.

Уравнение  логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 минус a правая круглая скобка =2 имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку  левая круглая скобка минус 1;2 правая квадратная скобка , при  минус 2 меньше или равно a меньше 4 и при 4 меньше a меньше или равно дробь: числитель: 17, знаменатель: 4 конец дроби .

Ответ:  левая квадратная скобка минус 2;4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4;4,25 правая квадратная скобка .


-------------
Дублирует задание № 502138.
Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С5 Баллы
Обоснованно получен верный ответ. 4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек 3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a 2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл 4
Источник: ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Вариант 902., Задания 18 (С6) ЕГЭ 2013
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром