Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 510811

В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E —  на отрезке AB.

а) Докажите, что FH = 2DH.

б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 2.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть Р — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую AB, тогда DH = DP.

В равнобедренном треугольнике EAD угол AED равен 30°.

В прямоугольном треугольнике EPD:

DP= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби DE,

откуда получаем, что FH = 2DH.

б) Пусть AM — высота треугольника ABC — пересекает ED в точке N. Тогда

AM=AB умножить на синус \angleABC=1; BC=2AB умножить на косинус \angleABC=2 корень из 3.

Пусть DH = EF = x, тогда FH = ED = 2x. Треугольники ABC и AED подобны, следовательно

 дробь: числитель: AN, знаменатель: AM конец дроби = дробь: числитель: ED, знаменатель: BC конец дроби равносильно дробь: числитель: 1 минус x, знаменатель: 1 конец дроби = дробь: числитель: 2x, знаменатель: 2 корень из 3 конец дроби равносильно x= дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: корень из 3 плюс 1 конец дроби .

Значит, площадь прямоугольника DEFH равна

DE умножить на DH=2x умножить на x=2 левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: корень из 3 плюс 1 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 2 умножить на 3, знаменатель: 10 плюс 2 корень из 3 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 плюс корень из 3 конец дроби .

 

Ответ: 6 минус 3 корень из 3.

 

----------

Дублирует задание 505249.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: ЕГЭ по математике 08.05.2014. Досрочная волна, резервная волна. Вариант 2, Задания 16 (С4) ЕГЭ 2014