Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 510869

Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.

а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.

б) Найдите BC, если AH = 4 и ∠BAC = 60°.

Спрятать решение

Решение.

а) В четырёхугольнике AC_1HB_1 углы C_1 и B_1 — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр. Вписанные углы AC_1B_1 и AHB_1 опираются на одну дугу, следовательно, \angle AHB_1=\angle AC_1B_1.

Углы BC_1C и BB_1C — прямые, значит, точки B, C, B_1 и C_1 лежат на окружности с диаметром BC. Следовательно,

\angle AC_1B_1=180 градусов минус \angle BC_1B_1=\angle BCB_1.

Получаем, что \angle ACB=\angle AHB_1.

б) В треугольнике AB_1C_1 диаметр описанной окружности AH=4, откуда

B_1C_1=AH умножить на синус \angle BAC=AH умножить на синус 60 градусов=2 корень из 3 .

В прямоугольном треугольнике BB_1A имеем:

AB_1=AB косинус \angle BAB_1=AB косинус 60 градусов= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB.

В прямоугольном треугольнике CC_1A имеем:

AC_1=AC косинус \angle CAC_1=AC умножить на косинус 60 градусов= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC.

Получаем, что  дробь: числитель: AB, знаменатель: AB_1 конец дроби = дробь: числитель: AC, знаменатель: AC_1 конец дроби . Треугольники ABC и AB_1C_1 имеют общий угол A и  дробь: числитель: AB, знаменатель: AB_1 конец дроби = дробь: числитель: AC, знаменатель: AC_1 конец дроби , следовательно, они подобны. Тогда  дробь: числитель: BC, знаменатель: B_1C_1 конец дроби = дробь: числитель: AC, знаменатель: AC_1 конец дроби =2. Значит,

BC=2B_1C_1=4 корень из 3.

 

Ответ: 4 корень из 3.

 

Приведём другое решение.

а) Поскольку AA1 — перпендикуляр к ВС, а BB1 — перпендикуляр к (см. рис.), углы AHB1 и ACB равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.

б) Сторона треугольника, величина противолежащего ей угла и отрезок высоты, проведённой из вершины этого угла в точку пересечения высот треугольника, связаны соотношением: BC = AH тангенс A, откуда BC = 4 тангенс 60 градусов = 4 корень из 3 .

 

----------

Дублирует задание 505425.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Запад. Вариант 302., Задания 16 (С4) ЕГЭ 2014